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 elim 
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  [这个贴子最后由elim在 2013/08/13 03:38pm 第 2 次编辑]E
按照设计,若记 $P,;;Q$ 的第 $n$ 步移动依次达到点 $p_n,;;q_n$, 则t1j>eg
$\begin{array}{l l} p_0 = 0 & q_0 = 1 \\ p_1 = 1/2 & q_1 = 3/4 \\ p_2 = 5/8 & q_2 = 11/16 \\ \cdots & \cdots \end{array}$9Hb
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  REhq;
一般地,CNYt
$p_n = (p_{n-1} + q_{n-1})/2$h1:=
$q_n = (p_n + q_{n-1})/2 = (p_{n-1} + q_{n-1})/4 + q_{n-1}/2 = \frac{1}{4}p_{n-1} + \frac{3}{4}q_{n-1}$ZxD_
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g;br0<
即 $\begin{bmatrix}p_n \\ q_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 3/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{n-1}\\ q_{n-1} \end{bmatrix}$~p!q1
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]s|
因为    $\begin{bmatrix}1 & -2 \\1 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 3/4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{bmatrix}$}$mWdX
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  R}#z[
记 $T = \begin{bmatrix}1 & -2 \\1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}1/3 & 2/3 \\-1/3 & 1/3 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}u_n \\ v_n \end{bmatrix} = T\begin{bmatrix}p_n \\ q_n \end{bmatrix}$)\V7x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  VE4B/0
则有   $\begin{bmatrix}u_n\\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1/4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{n-1}\\ v_{n-1} \end{bmatrix} =\cdots = \begin{bmatrix} u_0 \\ 4^{-n}v_0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/3\\ 4^{-n}/3 \end{bmatrix}$#DX+d}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %hcO<
于是有 $\begin{bmatrix}p_n\\q_n \end{bmatrix} = T^{-1}\begin{bmatrix}u_n\\v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_n -2v_n\\u_n + v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{2}{3}(1 -4^{-n})\\ \frac{2}{3}(1+ 4^{-n}/2) \end{bmatrix}$TRJ%h
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  USb5-
$P,\,Q$ 将在二序列的公共极限 $2/3$ 处相遇。?!6r0#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >xF
$q_{n-1} - p_n = \frac{2}{3}(1 + 2\cdot 4^{-n}) -\frac{2}{3}(1 - 4^{-n}) = 2/4^n $)9M
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y'm
$q_n - p_n = \frac{2}{3} (1 + 4^{-n}/2) - \frac{2}{3}(1 -4^{-n}) = 1/4^n$#hu1
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  c2{4jY
第 $2n-1$ 轮结果:$P$ 在 $p_n$, $Q$ 在 $q_{n-1}$, 时刻是 $1 - 2/4^n$4]o$
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  z[jc8Q
第 $2n$ 轮结果: $P$ 在 $p_n$, $Q$ 在 $q_n$, 时刻是 $1 - 1/4^n$ZT'`6:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  J
在第 $2n-1$ 轮时间 $(1-1/4^{n-1}, 1-2/4^n)$ 中$P$ 动 $Q$ 静;s11k
在第 $2n$ 轮时间 $(1-2/4^{n}, 1- 1/4^n)$ 中$P$ 静 $Q$ 动;*5)c
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  i0O.|c
故第 $n$ 轮时间为 $[1-\frac{1}{2^{n-1}}, 1 -\frac{1}{2^n})$, $P$ 在 $p_{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}$, $Q$ 在 $q_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$*T9J#1
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  r]dx
$P$ 运动 $\Longleftrightarrow Q$ 静止 $\Longleftrightarrow 2\nmid n$, $P$ 静止 $\Longleftrightarrow Q$ 运动 $\Longleftrightarrow 2\mid n$\Qxw\
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  TLp?Ub
第 $n$ 轮的结果: $P$ 在 $p_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}$, $Q$ 在 $q_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}$, 时刻是 $1 - \frac{1}{2^n}$/5_zA
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对任意 $t\in [0,1)$, 设 $P$ 的位置在 $p(t)$, 则有某 $n$ 使得cN
$1 -\frac{1}{2^{n-1}} \le t < 1-\frac{1}{2^n},\quad p_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\le p(t) \le p_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}$. 注意到VG(e
$\frac{2}{3} 4^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} = \frac{2}{3} -p_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \le \frac{2}{3} -p(t),\quad 2^{-n}\le 1- t \le 2^{1-n}$'fx
$\displaystyle{\frac{1}{6}\le \frac{\frac{2}{3} -p(t)}{1 -t}}$ 即 $P$ 以不小于 $1/6$ 米/分 的速度撞向 $Q$,_
类似的估算: $Q$ 也以至少 $1/6$ 米/分 的速度撞向 $P$,两者相撞AyO:
的速度不小于 $1/3$ 米/分。3{L7_o


发贴时间2013/08/13 08:55am IP: 已设置保密[本文共2994字节]  

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