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  题:求原函数$\;I={\small\displaystyle\int}\frac{1}{\large\sin^4x+\cos^4 x}dx$P,@Rng
解:$\;(s_x,c_x){\small:=}(\sin x,\cos x).\;s_x^4+c_x^4=(s_x^2+c_x^2)^2-2s_x^2c_x^2$<8V9
$\qquad=\frac{1}{2}(2-s_{2x}^2)=\frac{1}{2}(1+c^2_{2x})$Sk`mA?
$\therefore\quad I\displaystyle\small=\int\frac{2dx}{1+\cos^2(2x)}=\int\frac{2\sec^2(2x)}{2+\tan^2(2x)}dx\overset{\large u=\tan(2x)}{=}\int\frac{du}{2+u^2}$x1,*CC
$\qquad\;\;{\small=}\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\overset{_\,}{\frac{\large\tan(2x)}{\sqrt{2}}}{\small+C.}$CF


发贴时间2020/03/18 04:27am IP: 已设置保密[本文共530字节]  
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  注记:易见$\;I{\small=\displaystyle\int\frac{\sec^4x}{1+\tan^4x}dx\overset{u=\tan x}{=}\int\frac{u^2+1}{u^4}du}$Ea{W!
$\qquad\small\displaystyle{=\scriptsize\frac{1}{2}}\int\big(\frac{1}{u^2+\sqrt{2}u+1}+\frac{1}{u^2-\sqrt{2}u+1}\big)du$HGj
$\qquad\small=\overset{_\,}{\dfrac{\arctan(\sqrt{2}\tan x+1))+\arctan(\sqrt{2}\tan x-1)}{\sqrt{2}}}+C$=-u
$\qquad$此法最初简单,过程、结果较繁。耐人寻味.&OJpY!


发贴时间2020/03/18 01:12pm IP: 已设置保密[本文共422字节]  
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  $\quad\because\quad\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x$=g8o
$\qquad\qquad=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x=\cos^22x+\sin^22x-\frac{1}{2}\sin^22x$:KK
$\qquad\qquad=\cos^22x+\frac{1}{2}\sin^22x$\
$\quad\therefore\small\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^4x+\cos^4x}=\int\frac{d(2x)}{2\cos^22x+\sin^22x}\,\;$利用[公式]即得:>5"02{
$\quad\therefore\small\displaystyle\int{\scriptsize\frac{dx}{\sin^4x+\cos^4x}}={\scriptsize\frac{1}{\sqrt{2}}}\big(2x-\arctan{\scriptsize\frac{(\sqrt{2}-1)\sin 4x}{(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)\cos 4x}}\big)${
注意:$(1)\quad\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{\tan(2x)}{\sqrt{2}}{\bigg|}_0^{\frac{\pi}{2}}=0$co$V/
$\qquad\quad\;(2)\quad{\scriptsize\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\big(2x-\arctan{\scriptsize\dfrac{(\sqrt{2}-1)\sin 4x}{\underset{\,}{(\sqrt{2}+1)}+(\sqrt{2}-1)\cos 4x}}\big){\bigg|}_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$KTB5
Newton-Leibniz 公式对(1)中原函数失效:积分区间含其间断点.<TrK
按此在新窗口浏览图片y
$\underset{\,}{\quad}$这些周期间断点是由不定积分变量代换而来的. 不难验证:X~8^
$\quad\frac{\pi}{\sqrt{2}}\big\lfloor\frac{4x+\pi}{2\pi}\big\rfloor+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{\tan(2x)}{\sqrt{2}}={\scriptsize\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\big(2x-\arctan{\scriptsize\dfrac{(\sqrt{2}-1)\sin 4x}{\underset{\,}{(\sqrt{2}+1)}+(\sqrt{2}-1)\cos 4x}}\big)$Q<QM


发贴时间2020/03/19 03:12pm IP: 已设置保密[本文共1365字节]  

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