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 * 贴子主题: 试证$\quad\displaystyle{\small\sum_{j=1}^n}a_j^2\,{\small\sum_{k=1}^n}b_k^2=\big({\small\sum_{k=1}^n}a_kb_k\big)^2+{\small\sum_{1\le j< k\le 1}}(a_jb_k-a_kb_j)^2$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  试证$\quad\displaystyle{\small\sum_{j=1}^n}a_j^2\,{\small\sum_{k=1}^n}b_k^2=\big({\small\sum_{k=1}^n}a_kb_k\big)^2+{\small\sum_{1\le j< k\le 1}}(a_jb_k-a_kb_j)^2$yhiEf#
证:$n=1,2\,$时等式显然成立,假定对某$m(\ge 3),\,n< m\,$时6HszU9
$\qquad$等式成立,则$\displaystyle\,{\small(|A||B|)^2-(A\cdot B)^2-\sum_{1\le j< k< n}}(a_jb_k-a_kb_j)^2$=(8./d
$\qquad\displaystyle=a_n^2{\small\sum_{1\le k< n}}b_k^2+b_n{\small\sum_{1\le k< n}}a_k^2+a_n^2b_n^2-\overset{^\,}{a_n^2b_n^2}-2a_nb_n{\small\sum_{1\le k< n}a_kb_k}$%o9=_
$\qquad\displaystyle={\small\sum_{1\le k< n}}(a_nb_k-a_kb_n)^2$8


发贴时间2020/03/11 07:13am IP: 已设置保密[本文共628字节]  
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  试证$\quad\displaystyle{\small\sum_{j=1}^n}a_j^2\,{\small\sum_{k=1}^n}b_k^2=\big({\small\sum_{k=1}^n}a_kb_k\big)^2+{\small\sum_{1\le j< k\le 1}}(a_jb_k-a_kb_j)^2$YBO3I
证:$\displaystyle{\small\sum_{k=1}^n}a_k^2{\small\sum_{k=1}^n}b_k^2-\big({\small\sum_{k=1}^n}a_kb_k\big)^2={\small\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n}(a_p^2b_q^2-a_pb_pa_qb_q)$G
$\;\;\displaystyle{\small=}{\small\frac{_1}{2}\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n}(a_p^2b_q^2+a_q^2b_p^2{\small-}2a_pb_pa_qb_q){\small=}{\small\sum_{1\le p< q\le n}}(a_pb_q{\small\,-}a_qb_p)^2$]J
$\quad$这是 future_math 的证明. 漂亮^10o


发贴时间2020/03/12 02:56am IP: 已设置保密[本文共726字节]  
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  主贴有如下推论:hcQ
Cauchy–Schwarz Inequality$\underset{\,}{\,}$]
$\underset{\,}{\qquad} A\cdot B\le|A\cdot B|\le |A||B|\;\;\small(\forall A,B\in\mathbb{R}^n)$Zn:?HM
$\qquad\underset{\,}{\quad}|A\cdot B|=|A||B|\iff \exists\,\lambda,\eta\in\mathbb{R}{\small-\{0\}}\,(\lambda A=\eta B)$M+ay
$\qquad\underset{\,}{\quad}\,A\cdot B\,=|A||B|\iff \exists\,\lambda,\eta>0\,(\lambda A=\eta B)$']7q>


发贴时间2020/03/12 08:39am IP: 已设置保密[本文共416字节]  
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  特例:E
按此在新窗口浏览图片Ei


发贴时间2020/03/13 11:43am IP: 已设置保密[本文共72字节]  

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快速回复主题: 试证$\quad\displaystyle{\small\sum_{j=1}^n}a_j^2\,{\small\sum_{k=1}^n}b_k^2=\big({\small\sum_{k=1}^n}a_kb_k\big)^2+{\small\sum_{1\le j< k\le 1}}(a_jb_k-a_kb_j)^2$
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