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  题:求$\,\cos\frac{2\pi}{7}\,$的根式表达式.mEBR[
解:令$\small\,\zeta=\exp(\frac{2\pi}{7}i).\;\lambda_k = \zeta^k+\zeta_{\;\large\cdot}^{-k}\,$对$\small\,\zeta^6+\zeta^5+\cdots+\zeta+1=0$sd]
$\quad$乘$\,\small\zeta^{-3}\,$得${\small\,}\lambda_3+\lambda_2+\lambda_1+1=0{\small\,}$即${\small\,}\lambda^3+\lambda^2-2\lambda-1=0.\,$q
$\quad$其中$\small{\color{gray}{\,\lambda^3=\lambda_3+3\lambda,\,\lambda^2=\lambda_2+2,\lambda=\lambda_1.}\;\,}$方程的唯一正根为XlV
$\quad\boxed{{\small\quad}\lambda=\scriptsize\frac{1}{3}\big(-1+\left(\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}\right)^{1/3}\big)+\left(\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}\right)^{1/3}\big)\;\;}\,$所以有]="
$\quad\boxed{{\small\cos}{\scriptsize\frac{2\pi}{7}}=\scriptsize\frac{1}{6}\big(-1+\left(\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}\right)^{1/3}\big)+\left(\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}\right)^{1/3}\big)}\qquad\scriptsize\square$68
按此在新窗口浏览图片 &bB/O
注意一个实数未必有$\mathbb{Q}$上的有理根式表达式. 即使有4,%N
也未必是算术根式(不含负数的偶次方根的根式).},y


发贴时间2020/03/01 07:22am IP: 已设置保密[本文共1026字节]  

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