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  定义 称$\small\,(G,\cdot)$为,如果运算$\small\;G\times G\to G(\ne\varnothing)\,((a,b)\mapsto a\cdot b)$ti1
$\qquad$满足$\small\,\forall a,b,c\in G\,\exists e,a^{-1}\in G:\,\color{gray}{\text{幺元及逆元}}$<-niI*
$\qquad\small(a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c)\wedge(e\cdot a=a\cdot e=a)\wedge(a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e).$<0
注记 群$\small(G,\cdot)$常用$\small G$表示.运算符$\,\cdot$常被省略,或被其他符号&TZt
$\qquad$(例如$+$)所取代(以强调运算满足交换律,幺元为$\,0$).]
$\qquad$若无另外声明,以下默认$\small G$为群.$\small |G|\,$为其阶.y6)x\&
$\,\small\;\mathbb{S}_E=\{\tau\in E^E\mid\tau(E)=E,\,(a\ne b)\implies(\tau(a)\ne\tau(b))\}\;(E\ne\varnothing)$T,
$\qquad$关于运算$\;fg:=f{\small\circ}g\,(x\overset{fg}{\mapsto}f(g(x)))\,$或$\,x\mapsto x_{fg}=(x_f)_g$[#S
$\qquad$成为$\small E$上的置换群.当$\small\,E=\{1,\ldots,n\}\,$时称$S_n=\mathbb{S}_E\,$为$\,n$9
$\qquad$个元素的对称群.用归纳法易证$|S_n|=n!\underset{\,}{.}$NJF
子群 称$\small\,H(\subset G)\,$为群$\small(G,\cdot)$的子群,如果$(H,\cdot|_{H\times H})$成为群.b9QmY7
注记 用$\small B\subset_G A$表示$\small B$是$\small A$的子群.W%FPc
引理 子群母群群的幺元相同,子群的任一元相对于子群(
$\qquad$母群的逆元相同.w
定理 设$\small\varnothing\ne H\subset G$(群),则$\small\underset{\,}{\,}H\subset_G G\iff(\forall a,b\in H\,(ab^{-1}\in H))$)?evh'
陪集 设$\small H\subset_G G\ni a,\,$称$\small\,aH=\{ah\mid h\in H\}\,$为$\small H$的$\underset{\,}{\,}a\text{-}$左陪集.&w(2Eb
$\qquad$对称地定义右陪集.-
定理 $(\small a,b\in G\supset_G H)\implies \forall a,b\in G\,(|H|=|aH|)\wedge$*yil*
$\underset{\,}{\qquad}\small\big((ab^{-1}\in H\iff aH = bH)\vee(ab^{-1}\not\in H\iff aH\cap bH=\varnothing)\big)$WdCq
Lagrange 设$\small\,H\subset_G G,\,_GH=\{aH\mid a\in G\}$则$\small\,G=\displaystyle\bigcup_{a\in G}aH,\,$且V@X
$\qquad\small |G|=|H||_GH|.\;[G:H]:=|_GH|$称为$\small H$在群$\small G$中的指数.ahqc,
定义 称$\small\,\langle E\rangle:=\bigcap\{H\mid E\subset H\subset_G G\}\;(E\subset G)\,$为$\small E$张成的群.ORb
$\qquad$当$\small\,E=\{a,\ldots,c\}$为有限集时简记$\small\,\langle E\rangle$为$\small\langle a,\ldots,c\rangle.\;\langle a\rangle\;$叫作~CE4B
$\qquad$循环群.$\,a\,$为其生成元,$o(a)=|\langle a\rangle|$叫作$a$的阶.M'w8t{
定理$\small\;\forall H\subset_G\langle a\rangle\,\exists!\, m\in\mathbb{N}\,(H=\langle a^m\rangle).$qH]&F
$\qquad\small(0<m)\wedge(n=o(a)\in\mathbb{N})\implies(m\mid n)\wedge([\langle a\rangle:H]=n/m)$:z!


发贴时间2020/02/26 01:32pm IP: 已设置保密[本文共2528字节]  
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  定义:若$\small\,\varnothing\ne A,\,B\subset G,\,$定义${\small\,AB=}\{ab\mid (a\in{\small A})\wedge (b\in{\small B})\}$8
定义:若$\small\,g^{-1}Hg\subset H\subset_{\small G} G\small\,(\forall g\in G),\,$则称$\small H$为$\small G$的正规子群,bES
$\quad\qquad$记作$\,H\lhd G\,$或$\,G\rhd H.$A.N3P
定义:对$\,g,h\in\small G\supset_{\small G}H,\,$分别称$\,h_g=g^{-1}hg{\small\,(H_g=g^{-1}Hg)}$sbkc9K
$\quad\qquad$为$h(H)$关于$g$的共轭元(群).FCE/
注记:$\because\;(h,h'\in H)\implies\left(h'_g(h_g)^{-1}=g^{-1}h'h^{-1})g\right)$Y
$\qquad\;\;\;\therefore\;g^{-1}Hg\subset_{\small G}G\,$即共轭群是群.WM
例:$H=\langle(1234)\rangle = \{1,(1234),(13)(24),(1432)\}\subset_{\small G} S_4$s.B
$\qquad H_{(12)}=\langle(1342)\rangle=\{1,(1342),(14)(23),(1432)\}$Qy5'
$\qquad H\cap H_{(12)}=\{1\}\lhd\langle(13)(24)\rangle\lhd H$(非$S_4$的正规子群)G
命题:$\;({\small H}\lhd{\small G}){\small\iff}(g{\small H = H}g{\scriptsize\,(\forall g\in G)}){\small\iff}({\small H_g = H}{\scriptsize\,(\forall g\in G)})$)Y3J
命题:$\;{\small[G:H]=2\implies H}\lhd{\small G}.$qnQQ3h
注记:令$\small\,H=\langle(12)(34)\rangle,\,K_4=\langle H,(13)(24)\rangle,\,A_4=\langle K_4,(123)\rangle$4Fm.J
$\qquad$由上命题$\small,\,H\lhd K_4.\,$由$(123)(12)(34)(132)=(13)(24)$/[R2vN
$\qquad$知$\,(k_4\lhd A_4)\wedge\lnot(H\lhd A_4).\,$虽然$\,H\lhd K_4\lhd A_4.\;$所以~e!
$\qquad\large\lhd\,$没有传递性,不是偏序群之间的关系.J<Z)c-
定义:称$\,\bar{G}=\{\bar{g}=gH\mid g\in G\},\,\bar{u}\bar{v}\mapsto \overline{uv}\,\small(N\lhd G))\,$确定Y
$\qquad$的群为$G$模$N$的商群.记作$\,G/N.$WLNO?
注记 由$\,\bar{u}=\bar{v}\iff uv^{-1}\in N\,$得$\;\bar{e}=N,\,(\bar{u})^{-1}=\overline{u^{-1}}$]P\<
$\qquad(\bar{u}=\bar{u^*})\wedge(\bar{v}=\bar{v^*})\implies(\overline{uv}=\overline{u^*v^*}).\;$故$\,G/N\,$是群.\
定理:若$N\subset_{\scriptsize G}\langle a\rangle=G,\;1\le m=\min\{k\in\mathbb{N},\langle a^k\rangle = N\}$,Th
$\qquad$则$\,G/N=\langle aN\rangle\,$是$\,m\,$阶循环群.\`9SA*


发贴时间2020/03/04 00:54pm IP: 已设置保密[本文共2028字节]  
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  定义 称群映射$\,\varphi(\in\bar{G}^G)\,$同态,如果$\,\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\small\,(\forall a,b\in G)$G(,
注记 若有满同态$\,\varphi:G\to\bar{G},\,$则称$G$与$\bar{G}$同态.c!-pH/
$\qquad$若二群间存在同态双射,则称他们同构.依次用$\,G\overset{\varphi}{\sim}\bar{G},\,G\overset{\varphi}{\cong }\bar{G}$Y=S
$\qquad$表示同态,同构(常忽略$\varphi$).(_~eF
$\qquad$设$\,G\overset{\varphi}{\sim}\bar{G},\,$则对任意$\,a\in G,$9sL
$\underset{\,}{\qquad}\qquad\varphi(e)=\varphi(e)\varphi(a)(\varphi(a))^{-1}=\varphi(ea)(\varphi)^{-1}=\varphi(a)(\varphi)^{-1}=\bar{e}$0
$\qquad\qquad\overline{a^{-1}}=\varphi(a^{-1})\varphi(a)(\varphi(a))^{-1}=\bar{e}(\varphi(a))^{-1}=({\bar{a}})^{-1}$VL0c
定理$\;\;(G\sim\bar{G}=\varphi(G))\implies(K{\small=}\varphi^{-1}(\bar{e}){\small=}\ker(\varphi)\lhd G\sim G/K\cong\bar{G}).$OF
例:$\;$对满同态${\small\;G=S_n}\overset{\varphi}{\sim}{\small\bar{G}=\{\pm 1\}}\;\;(\small\varphi(\sigma)=\text{sgn}(\sigma)={\scriptsize\displaystyle\prod_{1\le i< j\le n}}({\scriptsize\dfrac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}}))$LKRY
$\qquad\;\ker(\varphi)=\varphi^{-1}(1)=A_n$($n$次交错群),$S_n/A_n\cong \{\pm 1\}$&3w&
定义 称$\,\{G_k\}_{k=0}^r\,$为$\,G=G_0\,$的正规群列,如果$\,G_0\rhd \cdots\rhd G_r=1.$fb
$\qquad G_k/G_{k+1}\;(k=\overline{0,r-1})\,$叫作因子群.$G_r=1\,$是单位元群.!h
定义 称$\,G\,$为可解群,如果$G$有某正规群列,其各因子群皆为交换群.k
注记 交换群皆可解.$S_3,\,S_4\,$皆是可解群.6.=yy
定义 称$\,[a,b]=(ba)^{-1}ab\,$换位子,${\small D(G)=}\langle\{[a,b]\mid{\small a,b\in G}\}\rangle\,$换位子群,Cc
注记$\;\;ab = ba\iff [a,b]=e,\;\;g^{-1}[a,b]g=[g^{-1}ag,g^{-1}bg]$|~CG
定理$\;\;(\small D(G)\lhd G)\wedge$(${\small G/D(G)\,}$是交换群)sIKN
$\qquad\;\;(N\lhd G)\wedge$($G/N$是交换群)$\implies(D(G)\subset N)$.%r
证:$\because g^{-1}[a,b]g=[g^{-1}ag,g^{-1}bg]\,(\forall a,b,g\in G),\,\therefore\;D(G)\lhd G$q^?K
$\because\quad[\bar{u},\bar{u}]=\overline{[u,v]}=D(G)=\bar{e},\;\;\therefore\;D(G)\,$是交换群.n
$\qquad$最后,假定$\,N\lhd G,\,G/N$是交换群,则$N=[aN,bN]=[a,b]N.$)Y"
$\therefore\quad D(G)\subset N.$l4&r
定理 当$\,n\ge 5\,$时$,\,S_n\,$不是可解群.Svtv|u
证:设$\,\{G_k\}_{k=0}^r,\small\;G_0=S_n,\;G_{d-1}\rhd G_d,\,G_{d-1}/G_d$是交换群$,\small(d=\overline{1,r})$RkmW`
$\qquad$设$\small G_{d-1}$含$\small S_n$的全部$3$-循环.取$\,\sigma=(ilj),\,\tau=(jkm)\,$其中整数vq
$\qquad\,i,j,k,l,m(\in[1,n])\,$互异, 则$\,[\sigma,\tau]=(ijl)(jmk)(ilj)(jkm)$hGd
$\qquad =(ijk)\in G_d.\;\;\therefore\;G_d\,$仍含$\small S_n$的全部$3$-循环$,\,G_r$不是单位群.~
推论$\;A_n\,(n\ge 5)\,$不是可解群.(因为$\,A_n$可解$\implies S_n$可解).jHw>


发贴时间2020/03/13 10:11am IP: 已设置保密[本文共2656字节]  
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  定义$\,\small D(G)=\langle\{[a,b]: a,b\in G\},\;D^{k+1}(G)=D(D^k(G))$.0F~
定理:群$G$可解$\iff\exists k\in\mathbb{N}^+\,(D^k(G)=1)$tg?
证:$(\Rightarrow)$设$\,G=G_0\rhd\cdots\rhd G_{k-1}\rhd G_k=1\,$使$G_i/G_{i+1}\,$皆OS(l
$\qquad$可换$(\forall i).\,$易见$\small\,D^i(G)\subset D(G_{i-1})\subset G_i.\;\therefore D^k(G)\subset G_k=1$aDc|E;
推论:可解群的子群和商群必是可解群.==/
证:(1)若$G$可解,设$\small\,D^k(G)=1,\,H\subset_{\small G}G,\;$则$\small\,D^i(H)\subset D^i(G)$9E`
$\qquad\quad\;(\forall i).\small\;\;\therefore\;D^k(H)=1.$h\5
$\qquad$(2)考虑满同态$\small\,G\overset{\varphi}{\sim}G/N\;(g\mapsto gN)$PC


发贴时间2020/03/17 07:52am IP: 已设置保密[本文共668字节]  

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