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  设$\,{\small P\not\in\Gamma:\,\Gamma}(t)=(a \cos t, b \sin t).\,$求$\,(\max,\min) \{|{\small P-\Gamma}(t)|\}$f
解:设${\small\,P=}(u,v),\,(a\cos\xi,b\sin\xi)\,$是$\,|{\small P-\Gamma}(t)|\,$的极值点,则)
$\qquad\xi\,$是$\,({\small-}a\sin t,b\cos t)(u{\small-}a\cos t,v{\small-\,}b\sin t)=0\,$的解.令vvP
$\qquad s=\tan\frac{\large t}{2},{\small\,A=}{\frac{2}{\large vb}}(ua+a^2-b^2),{\small\,B=}{\frac{2}{\large vb}}(au{\small-}(a^2{\small-}b^2))$yUie
$\qquad$上方程等价于代数方程${\small\,(\dagger)}\;\;s^4{\small+A}s^3{\small+B}s{\small-1=}0.\,$通解为Q
$\qquad s{\small\,=-}\frac{A}{4}{\small+\,}\delta_1\frac{1}{2}{\small\Delta_2+\,}\delta_2\frac{1}{2}\sqrt{\frac{A^2}{2}{\small-\Delta_1+}\delta_1\frac{\gamma}{4\Delta_2}}\;\;\small(\delta_j\in\{-1,1\})$T
$\qquad$其中$\,\Delta_1=\frac{\large\alpha}{\Delta_0}+\frac{\Delta_0}{\large\beta},\;\Delta_2=\sqrt{\frac{A^2}{4}+\Delta_1}$Uxr^
$\qquad\qquad\,\small\alpha=-(AB+4)\sqrt[3]{2},\;\beta=3\sqrt[3]{2},\;\gamma=-(A^3+8B)$zK7qxx
$\qquad\,\Delta_0\small=\big(27(B^2-A^2)+\sqrt{108(AB+4)^3+(27(A^2-B^2))^2}\big)^{\frac{1}{3}}$3
$\qquad$由椭圆的光滑性与凸性,$\small(\dagger)$至少有二相异实根$\,s_1,\,s_2$,+
$\qquad\frac{1}{\large 1+s_k^2}(a({\small 1-}s_k^2),\,2bs_k)$分别是$\small\Gamma$上的近(远)$\small P$点$\small\,(k=\overline{1,2})$.5[


发贴时间2020/02/08 07:53am IP: 已设置保密[本文共1325字节]  
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  根据楼上的算法所作的Geogebra演示如下. 可用鼠标设置椭圆的离心率及点$P$.[P,Ie
Geogebra不直接支持复数运算, 从原文档中变量的Property可见编程细节.]-G
按此在新窗口浏览图片fr5
按此在新窗口浏览图片eH-d
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  X'd;3
Geogebra source:[ ggb]#F7h'


发贴时间2020/02/14 07:40am IP: 已设置保密[本文共309字节]  
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  以下是我上传 ggb源文件, 经 Geogebra.org 发布的 applet.6
l!


发贴时间2020/02/19 07:51am IP: 已设置保密[本文共401字节]  

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