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 HOFFMAN 




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  老師給你拜個晚年,新年快樂。    20100207, 台灣VQeBx^
已知$\,0< a,\,b,\,c< a+b+c=1,\,$求$\,\max(a+\sqrt{b}+\sqrt[3]{c})$<d|


发贴时间2020/02/06 10:35pm IP: 已设置保密[本文共150字节]  
 elim 
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  题:求$\,\max\{a+\sqrt{b}+\sqrt[3]{c}\mid 0< a,b,c< a+b+c=1\}.$pT-BwL
解:$\,a,b,\,c\,$可参数化为$\small\,(a,b,c)=((1-s)(1-t),s(1-t),t),$Z
$\qquad(0N888y>
$\qquad\frac{\partial}{\partial s}f(s,t)=\sqrt{\frac{1-t}{4s}}({\small 1-2}\sqrt{s({\small 1-}t)}),\;\frac{\partial}{\partial s}f=0\,$对$\small t\in(0,\frac{3}{4})$xa|t$j
$\qquad$有解$\,s\in(0,1).$==Le
$(1)\quad$对$\,t\in[\frac{3}{4},1),\;{\small 1-2}\sqrt{s({\small 1-}t)}\ge {\small 1-}\sqrt{s}>0,\;\frac{\partial}{\partial s}f>0,$o8!Y
$\qquad f(s,t)< f({\small1},t)=\sqrt{{\small 1-}t}+\sqrt[3]{t}\le \sqrt{\small 1-\frac{3}{4}}\small +1=1.5.$t
$(2)\quad$对$\,t\in(0,\frac{3}{4}),\;f\,$在$\,s_t=\frac{1}{4(1-t)}\in(0,1)\,$达到极大值qkx
$\qquad f(s_t,t){\small=}\frac{5}{4}-t+\sqrt[3]{t},\;\frac{d}{dt}f(s_t,t){\small=}\frac{\sqrt[3]{t}-3t}{3t},\;\frac{d^2}{dt^2}f(s_t,t)< 0$o
$\therefore\quad t=\frac{\sqrt{3}}{9}\,$时$\,\frac{d}{dt}f(s_t,t)=0,\;f(s_t,t)\,$达到极大值$\,\frac{2\sqrt{3}}{9}+\frac{3}{4}$j* V{J
$\qquad{\small(>1.5)}.\,$此时$\,s=\frac{1}{4(1-t)}=\frac{3}{104}(\sqrt{3}+9),\,b=\frac{1}{4},\,c=\frac{\sqrt{3}}{9}$!@Y3C
$\therefore\quad\boxed{\max_{a,b,c>0\atop a+b+c=1}(a+\sqrt{b}+\sqrt[3]{c})=\small\frac{2}{9}\sqrt{3}+\frac{5}{4}}$5


发贴时间2020/02/07 04:50am IP: 已设置保密[本文共1299字节]  
 elim 
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  题:求$\,\max\{a+\sqrt{b}+\sqrt[3]{c}\mid 0< a,b,c< a+b+c=1\}.$$G
解:$\because\;\sigma+(k-1)\lambda\ge k\sqrt[k]{\sigma\lambda^{k-1}},\,\therefore\;\boxed{\sqrt[k]{\sigma}\le\sigma+{\small\frac{k-1}{k^{k/(k-1)}}}}$U$
$\qquad$等号当且仅当$\,\sigma=k^{-k/(k-1)}\,$时成立(AM-GM).Mz
$\therefore\quad\, a+\sqrt{b}+\sqrt[3]{c}\le a+b+c+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{5}{4}+\frac{2\sqrt{3}}{9}$AN'
$\qquad\small\,c=\frac{1}{3\sqrt{4}},\,b=\frac{1}{4},\,a=1-b-c=\frac{3}{4}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\underset{\tiny\,}{>0}\,$等号成立.J%+
$\therefore\quad\boxed{\max_{a,b,c>0\atop a+b+c=1}(a+\sqrt{b}+\sqrt[3]{c})={\small\frac{5}{4}}+{\small\frac{2\sqrt{3}}{9}}.}$RC3R*"
注记:数值计算表明$\;\;\small 1-\displaystyle\sum_{k=2}^8\frac{1}{k^{k/(k-1)}}< 0< 1-\displaystyle\underset{\,}{\sum_{k=2}^7}\frac{1}{k^{k/(k-1)}}$`N({I
$\therefore\quad\boxed{\max_{\sigma_1,\ldots,\sigma_n>0\atop \sigma_1+\cdots\sigma_n=1}\small\sum_{k=1}^n\sqrt[k]{\sigma_k}=1+\sum_{k=2}^n\frac{k-1}{k^{k/(k-1)}}\scriptsize\quad(n=\overline{1,7}).}$@


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