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  $\small\,\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}=r,\overline{\lim}\sqrt[n]{|b_n|}=\rho\implies\overline{\lim}\sqrt[n]{\sum_{k=0}^n|a_k||b_{n-k}|}\le\max(r,\rho)$w-N>v
证:$u>v>\max(r,\rho),|x|<\frac{1}{u}\implies\small\exists N\,\forall n>N(|a_n x^n|,|b_nx^n|< (v/u)^n)$1
$\qquad$可见$\small\displaystyle\,\sum_{n=0}^{\infty}\big(\sum_{k=0}^n|a_kb_{n-k}|\big)x^n\,$的收敛半径$\,\ge(\max(r,\rho))^{-1},\,$亦即;-&'
$\qquad\small\displaystyle\underset{n\to\infty}{\lim\,\sup}\bigg(\sum_{k=0}^n|a_kb_{n-k}|\bigg)^{\frac{1}{n}}\le\max\bigg(\underset{n\to\infty}{\lim\,\sup}\sqrt[n]{|a_n|},\;\underset{n\to\infty}{\lim\,\sup}\sqrt[n]{|b_n|}\bigg).\quad\square$kkxU


发贴时间2020/01/19 01:01pm IP: 已设置保密[本文共690字节]  

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