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  题:求$\,(x,y)=(a\cos t,b\sin t)\small\;(0\le t\le 2\pi)\,$的周长$\,C.$5we
解:易见椭圆曲线长度微元是$\small\,ds=\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t}dt\,$且GX
$\qquad\small\, a^2\sin^2t+b^2\cos^2t=\big({\large\frac{a+b}{2}}\big)^2\big(\big({\large\frac{a-b}{a+b}}\big)^2-2{\large\frac{a-b}{a+b}}\cos(2t)+1\big)$]4?(.W
$\qquad\small\overset{\lambda=\frac{a-b}{a+b}}{=}\big({\small\frac{a+b}{2}}\big)^2(\lambda^2-2\lambda\cos 2t+1)=\big({\small\frac{a+b}{2}}\big)^2(1-\lambda e^{i2t})(1-\lambda e^{-i2t})$(
$\therefore\quad\small\displaystyle\,C=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t}dt$>
$\qquad\small\quad\displaystyle =2(a+b)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(1-\lambda e^{i2t})(1-\lambda e^{-i2t})}dt$4aT
$\qquad\small\quad\displaystyle =2(a+b)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{2}}{k}\binom{\frac{1}{2}}{j}(-\lambda)^{k+j}e^{i2kt}e^{-i2jt}dt$SO
$\qquad\small\quad\displaystyle =2(a+b)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}(-\lambda)^n\sum_{k=0}^n{\scriptsize\binom{1/2}{k}\binom{1/2}{n-k}}e^{i2(2k-n)t}dt$"Uy~8
$\qquad\small\quad\displaystyle =2(a+b)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}(-\lambda)^n\sum_{k=0}^n{\scriptsize\binom{1/2}{k}\binom{1/2}{n-k}}\cos(2(2k-n)t)dt$"Fhpe
$\qquad\small\quad\displaystyle =\pi(a+b)\sum_{n=0}^{\infty}{\scriptsize\binom{1/2}{n}}^{_{\large 2}}\lambda^{2n}$ltU
注记:令${\small\,c_k=}\binom{1/2}{k}\binom{1/2}{n-k}\small(-\lambda)^n e^{i2(2k-n)t},\,$则$\small\,c_{n-k}=\bar{c}_n.\;$又, 对`;~#
$\qquad\small M_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\scriptsize\bigg|\binom{1/2}{k}\binom{1/2}{n-k}\bigg|\,$有$\small\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\sqrt[n]{M_n}=1$$\small\text{(幂级数积收敛半径)}$]p*J
$\qquad$幂级数在收敛圆内绝对收敛,内紧一致收敛.7ak
$\qquad\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n{\scriptsize\binom{1/2}{k}\binom{1/2}{n-k}}(-\lambda)^n\cos(2(2k-n)t)\,$对每个$\small\lambda\in(-1,1)$K
$\qquad$关于$\,t\,$一致收敛. 故上述连等式的最后两个等号成立.Op*i


发贴时间2020/01/15 09:00am IP: 已设置保密[本文共2056字节]  

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