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  $\small\,\{f\in(0,\infty)^{(0,\infty)}:\,f(f(x))=f(2x)-x,\,(f(x)-x)\overset{x\to\infty}{\to} 0\}$?n
解:记所求集合为$\,\mathscr{F},\,$设$\,f\in\mathscr{F},\,x>0,\,c_1={\scriptsize\dfrac{1}{2}},\,$则d
$\qquad\small\,f(x)={\scriptsize\dfrac{x}{2}}+f\big(f\big({\scriptsize\dfrac{x}{2}}\big)\big)>c_1x.\,$令$\small\,c_{n+1}={\scriptsize\dfrac{c_n^2+1}{2}}\scriptsize\,(\uparrow 1)\,$并设(
$\qquad\small\,f(x)>{\large c}_n x\,(\forall x>0),\,$则$\small\,f(2x)-x=f(f(x))>{\large c}_n^2 x$sY6c2
$\qquad$即$\small\,f(x)>{\scriptsize\dfrac{c_n^2+1}{2}}x = c_{n+1}x\,(\forall x>0).\;\therefore\,\boxed{f(x)\ge x\scriptsize\,(x>0)}$O&2
$\qquad$若有$\small\,a_1>0\,$使$\,\delta\small =f(a_1)-a_1>0,\,$令$\small\,a_{n+1}=2a_n,\,$则xM8FX
$\qquad {\small f(a_n)\ge a_n+}\delta{\small\implies f(a_{n+1})\ge a_n+f(a_n)\ge a_{n+1}+}\delta$JQI
$\qquad{\small\displaystyle\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}(f(a_n)-a_n)}\ge\delta> 0.\,$与$\,f\in\mathscr{F}\,$矛盾.35df3
$\therefore\quad f(x)=x\,(\forall x>0),\,\mathscr{F}=\small\{\mathbf{id}_{(0,\infty)}\}.\quad\square$l=%6


发贴时间2020/01/08 03:34am IP: 已设置保密[本文共1095字节]  

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