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 * 贴子主题: 试证 $\displaystyle\small\displaystyle(f\in\mathscr{C}^1)\wedge\big({\scriptsize\int_0^1}f =0\big)\implies\big|{\int_0^{\alpha}}f\big|\le\frac{1}{8}\max|f'|([0,1])$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  试证$\small\displaystyle\,(f\in\mathscr{C}^1([0,1]))\wedge\big({\scriptsize\int_0^1}f = 0\big)\implies\big|{\scriptsize\int_0^{\alpha}}f\big|\le \frac{1}{8}\max |f'|([0,1])$6'aJ
证:令$\small\,F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)dt,\,$设$\small\,\alpha\in(0,1)\,$使$\small\,|F(\alpha)|=\max|F|([0,1]).$~n0++`
$\qquad$取$\small\beta\in\{0,1\},\,|\beta-\alpha|=\min\{|\alpha|,|1-\alpha|\}.\;\exists\theta\in(0,1)\,$使NY+V
$\qquad\small\,\;0=F(\beta)=F(\alpha)+(\beta-\alpha)F'(\alpha)+{\small\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{2!}}F''(\theta)\,$4
$\because\quad\small F(\alpha)=0,\quad\therefore\quad |F(\alpha)|={\small\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{2!}}|F''(\theta)|\le{\dfrac{1}{8}}\max|f'|([0,1]).$(


发贴时间2020/01/05 01:30am IP: 已设置保密[本文共707字节]  
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  证$_2:$令$\small\,M=\max|f'|([0,1]).\;\;\because\underset{\,}{\scriptsize\displaystyle\int_0^{\alpha}}f\big({\large\frac{x}{\alpha}}\big)dx=\alpha{\scriptsize{\displaystyle\int_0^1}}f(t)dt=0$^
$\therefore\quad\small\big|{\scriptsize\displaystyle\int_0^{\alpha}}f(x)dx\big|=\big|{\scriptsize\displaystyle\int_0^{\alpha}}\big(f(x)-f\big(\frac{x}{\alpha}\big)\big)dx\big|\le\big|1-{\large\frac{\small 1}{\alpha}}\big|M{\scriptsize\displaystyle\int_0^{\alpha}}xdx$6@=@I(
$\qquad\qquad\qquad{\;\small\le}\scriptsize\,\dfrac{\alpha(1-\alpha)M}{2}\le\overset{\,}{\dfrac{M}{8}}.\quad\square$Rd]


发贴时间2020/01/05 10:38am IP: 已设置保密[本文共613字节]  
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  证$_3:$令$\small\,M=\max|f'|([0,1]),\;\displaystyle\small g_k(x)={\scriptsize\int_0^x}f(t)dt+{\scriptsize\frac{(-1)^k M}{2}}x(x-1)$x@[F
$\qquad$易见$\,g_k(0)=g_k(1)=0,\,g_1\,$凹$,\,g_2\,$凸.$\,\therefore\;\;g_2\le 0\le g_1.$ep
$\qquad$此即$\,\small\displaystyle\big|{\scriptsize\int_0^x}f(t)dt\big|\le\frac{\scriptsize M}{2}x(1-x)\le\frac{\scriptsize M}{8}\;\;(0\le x\le 1).\quad\square$_~H


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