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  给定\(\,k \geq 2,\;c_0,\,c_1,\ldots,c_k,\,a_0,\ldots,a_{k-2}\in\mathbf{C}\,\),设\(\,c_k\neq 0,\,\)0`
$(\star)\;\;c_k a_{n+k-1} + \cdots + c_1 a_n + c_0 = 0\;\small(\forall n\in \mathbf{N})\,$确定了$\{a_n\}$5vO?r
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ;B|( `
$(0.1)\;P(x) = c_k x^{k-1} + \cdots + c_2 x + c_1\,$为$(\star)$的特征多项式~<
$(0.2)\;c_k a_{n+k-1} + \cdots + c_1 a_n = 0\,$为$(\star)$的齐次部分。+@\8
我们有下列结果3V
$(1)\,$若$\,\xi\,$是$\,P(x)\,$的根而$\,\{\beta\}\,$满足$(\star),\,$则$\{\xi\}$满足$(0.2),$于是,;DLFW
$\quad\;\;\,a_n = \xi^n + \beta_n$也满足$(\star)$Z\:a^y
$(2)\,$若$\,\xi\,$是$\,P(x)\,$的$\,r$-重根,则对$d{\small\in\{0,\cdots,r-1\}},\;a_n = n^d \xi^n$N|B@
$\quad$ 满足$(0.2).$RXAD
$(3)\;(\star)$有形如$\,\beta_n = \gamma n^p\,$的解.其中常数$\,p{\small\,\in \mathbf{N}}$及$\,\gamma\,$由$(\star)$确定.Dhk
由$(1)\sim(3),\;(\star)$的通解形如:4k
$\qquad\qquad\color{green}{\displaystyle a_n = \sum_{i=1}^{m} \xi_{i}^n (\sum_{j=0}^{r_i-1}\alpha_{i,j}n^j) + \gamma n^p}$;<8]
其中$\alpha_{i,j}$为任意常数$,\small\underset{\,}{\,}\xi_i$为$\small\,P\,$的$\,r_i$-重根$\small\,(\sum r_j=k-1=\deg(P))$.brN
(2)的证明:因$\,\xi\,$是$\,P\,$的$\,r$-重根$,\,P^{(j)}(\xi)=0\small\,(j=\overline{0,r-1}),$则_n,j
$\qquad\small c_k \xi^{n+k-1}+\cdots+c_1\xi^n=\xi^n P(\xi) = 0\,(\forall n)\,$故$\small\,\{n^0 \xi^n\}\,$满足$(0.2).$qt S+n
$\qquad$假定$\,{\small(\dagger)\;\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} c_{i+1}(n+i)^q\xi^{n+i}=0\,(\forall n,\,0\le q< m\le r-1)}$,则T$Db'Y
$\qquad\small\displaystyle\,0=\frac{d^m}{dx^m}(x^{n+m}P(x))\big|_{x=\xi}=\sum_{j=0}^{k-1} c_{j+1}\xi^{n+j}\frac{(n+m+j)!}{(n+j)!}$Wt,u
$\qquad\small\displaystyle\quad= \sum_{j=0}^{k-1}c_{j+1}\xi^{n+j}((n+j)^m + Q(n+j))=\sum_{j=0}^{k-1}c_{j+1}(n+j)^m\xi^{n+j}$>.][P
$\qquad$这是因为$\small\,\deg(Q)< m$以及我们的假定$(\dagger)$. h2
(3)的证明:考虑变换$\small\begin{pmatrix}d_1\\ d_2\\ \vdots\\ d_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1&\cdots &1\\ 1& 2&\cdots &k\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 1 &2^{k-1} &\cdots & k^{k-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_k\end{pmatrix}.$K
$\qquad$由于$(c_1,\cdots, c_k)^{T} \neq \mathbf{0},\,$存在某$\,p\in \left\{0,\cdots,k-1\right \}$;-O
$\qquad$使$\small\displaystyle\,d_{\,p+1}=\sum_{j=1}^k j\,^p c_j\neq 0.\,$而$\,d_i=0\,(i< p+1).\,$于是`)snF
$\qquad\small\begin{align}\sum_{j=1}^k c_j(m+j)^p& =\sum_{j=1}^k c_j\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}m^{p-i}j^i=\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}m^{p-i}\sum_{j=1}^k j^i c_j\\ & =\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}m^{p-i}d_{i+1}=d_{p+1}\end{align}$B
$\qquad$令$\underset{\,}{\;}\gamma =-c_0/d_{p+1},\;\beta_n =\gamma n^p,\;m=n-1\,$则有fq(^
$\qquad\;c_k\beta_{n+k-1}+\cdots+c_1\beta_n +c_0$wKwd
$\qquad\qquad\overset{^\,}{=}\gamma(c_k (m+k)^p +\cdots+c_1(m+1)^p)+c_0$6o
$\qquad\qquad\overset{^\,}{=}\gamma d_{p+1}+c_0=\underset{\,}{0}$M
$\qquad$故$(3)$成立.x


发贴时间2019/12/27 00:19pm IP: 已设置保密[本文共2847字节]  

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