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 elim 
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  题:对球心距为$\,d,\,$半径依次为$\,r,\,R\,$的二球$\small\,(r+d>R>r>0)\,$uXhh
$\qquad$求其公切线切点距离的取值范围.q[Wr@'
解:记$\small\,C_1,\,C_2\,$为二球心,$\small\,T_1,\,T_2\,$为某一公切线在二球的切点.令IIB
$\qquad\small\rho=|{\small\overline{T_1T_2}}|,\;\mathbf{t}=\frac{\overrightarrow{\small T_1T_2}}{|\overline{T_1T_2}|},\;\mathbf{c}=\frac{\overrightarrow{\small C_1C_2}}{|\overline{C_1C_2}|},\;\mathbf{n}=\begin{cases}\mathbf{c}\times\mathbf{t},\qquad\qquad\quad(\mathbf{c}\not\parallel\mathbf{t})\\ {\scriptsize(\overrightarrow{C_1T_1})}-(\mathbf{c}\cdot{{\scriptsize(\overrightarrow{C_1T_1})})\mathbf{c}},\,(\mathbf{c}\parallel\mathbf{t})\end{cases}$(8gi4z
$\qquad$记法向为$\mathbf{n},\,$过$\small\,T_1,T_2\,$的平面为$\,\Pi_h.\;h(\in[0,r])$是二球心与r$
$\qquad$平面的公共距离$.\;\Pi_h\,$截二球依次为半径$\,r_h=\sqrt{r^2-h^2},$及D
$\qquad R_n=\sqrt{{\small R}^2-h^2}\,$的圆.圆心距仍为$\,d.\;\small T_1,\,T_2\,$仍为圆公切线os\W$J
$\qquad$的切点.可见$\,\rho\big(\in\{\small\sqrt{d^2-(R_h\mp r_h)^2}\}\cap\mathbb{R}\big)\,$是$\,h\,$的函数.2
$\because\quad\frac{d}{dh}(d^2-(R_h-r_h)^2)=\frac{d}{dh}(2h^2+2\sqrt{(R^2-h^2)(r^2-h^2)})$JW-0dH
$\qquad=4h-4h\frac{(R^2-h^2)+(r^2-h^2)}{2\sqrt{(R^2-h^2)(r^2-h^2)}}\le 0\;\;({\small\text{AM-GM}}),$s4@/q
$\qquad$同侧公切:$\;\sqrt{d^2+r^2-R^2}\le\rho\le\sqrt{d^2-(R-r)^2}$@T3
$\qquad$同理可证$\;\frac{d}{dh}(d^2-(R_h+r_h)^2)\ge 0.\;$所以lj1/[m
$\qquad$异侧公切:$\;\sqrt{d^2+r^2-R^2}\ge\rho\ge\sqrt{\max(0,\,d^2-(R+r)^2)}$8uc\
$\therefore\qquad\boxed{\sqrt{\max(0,\,d^2-(R+r)^2)}\le\rho\le\sqrt{d^2-(R-r)^2}}\quad\small\square$=kh'
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注记:本题的解法有效而简捷.其关键是与二球心等距,过公切线=C*/a
$\qquad$的平面的确定. 它是含公切线并与球心连线平行的平面. 由Z~
$\qquad$此便有了法方向$\mathbf{n}$的公式. Z


发贴时间2019/12/19 08:27am IP: 已设置保密[本文共1775字节]  
 elim 
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  例:对$\,r=3,\,R=5\,$有$\,\sqrt{\max(0,\,d^2-64)}\le\rho\le\sqrt{d^2-4}$(w2/,
$\quad\;\;$令$\,\sqrt{\max(0,\,d^2-64)}=4\,$得使所给二球有公切距$\small\,4\,$的,3%
$\quad\;\;$最大球心距是$\,d=\sqrt{80};\;$令$\,\sqrt{d^2-4}=4\,$知使所论二球,WxJ
$\quad\;\;$有公切距$\small\,4\,$的最小球心距是$\,d=\sqrt{20}.\,$现考虑以下问题%`.?
$\quad\;\;$按此在新窗口浏览图片Ios$'
$\quad\;\;$从空间几何的观点看,这个问题等价于以$\,A,\,B\,$为球心kJf.
$\quad\;\;$放置二球,半径依次为$\,3,\,5.\,$解出它们间有公切距$\,4\,$的ZiT
$\quad\;\;$球心距$\,d\,$范围,进而给出所求$\,\sqrt{d^2-3^2}\,$的范围.利用上!~}C
$\quad\;\;$面的计算, 所求范围是$\,[\sqrt{11},\sqrt{71}].\quad\small\square$gv
按此在新窗口浏览图片GQSlG]


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