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  题:计算$\;\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4k(4k-1)(4k-2)}.$84@
解:$\;\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{1}{4k(4k-1)(4k-2)}}={\small\frac{1}{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\big({\small\frac{1}{4n-2}-\frac{2}{4n-1}+\frac{1}{4n}}\big)$y
$\quad\;\;\,=\displaystyle{\small\frac{1}{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1\big(x^{4n-3}-2x^{4n-2}+x^{4n-1}\big)dx${{x]QZ
$\quad\;\;\,=\displaystyle{\small\frac{1}{2}}\int_0^1{\small\bigg(}\sum_{n=1}^{\infty}\big(x^{4n-3}-2x^{4n-2}+x^{4n-1}\big){\small\bigg)}dx$A:
$\quad\;\;\,=\displaystyle{\small\frac{1}{2}}\int_0^1\frac{x-2x^2+x^3}{1-x^4}dx={\small\frac{1}{2}}\int_0^1{\small\bigg(}\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x}{\small\bigg)}dx$N.sL
$\quad\;\;\,={\small\dfrac{1}{2}}\big({\small\dfrac{\pi}{4}}-\log 2\big).\quad\small\square$H


发贴时间2019/12/12 01:43am IP: 已设置保密[本文共909字节]  

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快速回复主题: 计算$\;\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4k(4k-1)(4k-2)}.$
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