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 * 贴子主题: 求$\small\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta((p(n))^{\beta})}{n^{m\beta-1}}\;\big(p(x)=a_0x^m+\cdots+a_m,(a_0\ne 0<\beta)\big)$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:求$\small\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{\Delta((p(n))^{\beta})}{n^{m\beta-1}}\;\big({\scriptsize p(x)=}\sum_{k=0}^{m} a_kx^{m-k},{\scriptsize\;m\in\mathbb{N},\,a_0\ne 0<\beta}\big)$f&flg
解:$\small\dfrac{(p(n+1))^{\beta}-(p(n))^{\beta}}{n^{m\beta-1}}$cd:+e
$\quad\small\overset{{\large sn}=1}{=}s^{-1}\big((a_0(1+s)^m+a_1s(1+s)^{m-1}+o(s))^{\beta}-(a_0+a_1s+o(s))^{\beta}\big)$;B(#FK
$\quad\small\;\,=s^{-1}\big((a_0+(ma_0+a_1)s+o(s))^{\beta}-(a_0+a_1x+o(s))^{\beta}\big)$S?O^r
$\quad\small\;\,=s^{-1}\beta a_0^{\beta-1}((ma_0+a_1)s-a_1s+o(s))\to m\beta a_0^{\beta}\;\;(n\to\infty)\underset{\,}{\,}$gx+Jz
注记: 上面用到了中值定理$\;\small (A+bs+o(s))^{\beta}=A^{\beta}+\beta A^{\beta-1}(bs)+o(s).$t_q|=


发贴时间2019/12/09 03:34am IP: 已设置保密[本文共767字节]  
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  例:$\;\small\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}\frac{\big(\sqrt[5]{\scriptsize 25^6}+\cdots+\sqrt[5]{\scriptsize(22n+3)^6}\big)^5}{{\scriptsize 22}n^{11}}$PY!a
解:$\;\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[5]{\scriptsize 25^6}+\cdots+\sqrt[5]{\scriptsize(22n+3)^6}}{({\scriptsize 22}n^{11})^{\frac{1}{5}}}\overset{\text{Stolz}}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[5]{\scriptsize(22n+3)^6}}{n^{\frac{11}{5}}(({\scriptsize 22}(1+\frac{1}{n})^{11})^{\frac{1}{5}}-{\scriptsize 22}^{\frac{1}{5}}))}$CCA
$\quad\small\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{22^{\frac{6}{5}}}{\frac{11}{5}22^{\frac{1}{5}}}=10.\quad\therefore\;\overset{\,}{\boxed{\small\lim_{n\to\infty}\frac{\big(\sqrt[5]{\scriptsize 25^6}+\cdots+\sqrt[5]{\scriptsize(22n+3)^6}\big)^5}{{\scriptsize 22}\,n^{11}}=10^{\,5}.\;}}$.lqa`


发贴时间2019/12/09 06:34am IP: 已设置保密[本文共834字节]  
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  定理:$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\big({\scriptsize\displaystyle\sum_{k=1}^n} g(k)\big)^{\alpha}}{(p(n))^{\beta}}}={\small\frac{\alpha^{\alpha}}{a_0^{\beta}(m\beta)^{\alpha}}}\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(ng(n))^{\alpha}}{n^{m\beta}}}$mVP
$\qquad\;\;(\small g>0,\;p(x)=a_0x^m+\cdots\in R[x],\;a_0>0,\,\deg(p)=m>0)$,o8
证:$\because\;p(n)\sim a_0n^m,\,$据Stolz定理(及主贴结果),p+?*O
$\qquad{\small LHS}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(g(n))^{\alpha}}{a_0^{\beta}\big(\Delta(n^{\frac{\beta}{\alpha}})\big)^{\alpha}}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(g(n))^{\alpha}}{a_0^{\beta}\big(n^{(\frac{m\beta}{\alpha}-1)}\cdot\frac{(1+\frac{1}{n})^{\frac{m\beta}{\alpha}}-1}{\frac{1}{n}}\big)^{\alpha}}}$7='Zr
$\qquad\qquad\;=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(ng(n))^{\alpha}}{a_0^{\beta}(\frac{m\beta}{\alpha})^{\alpha}n^{m\beta}}}=\small RHS.\quad\square$BMJJc


发贴时间2019/12/11 05:38am IP: 已设置保密[本文共925字节]  

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