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 elim 
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  题:用黎曼和方法计算$\,\small\displaystyle\int_1^3\frac{2x}{x^2+1}dx$`dZOjg
解:易见$\,{\small\displaystyle\overset{\tiny\,}{\int_1^3}\frac{2x}{x^2+1}dx=\int_2^{10}\frac{dS}{S}}=\ln 5.\;$现用黎曼和方法Z}h3fD
$\qquad$计算原积分. 令$\,x_k=\sqrt{1+\frac{k}{n}}\small\quad(k=\overline{0,8n}),\;\;$则<Jo)c%
$\qquad\small\dfrac{2x_k}{x_k^2+1}(x_k-x_{k-1})=\dfrac{1}{2n+k}\dfrac{2x_k}{x_k+x_{k-1}}>\dfrac{1}{2n+k}$myvYB+
$\qquad\small\dfrac{2x_{k-1}}{2x_{k-1}^2+1}(x_k-x_{k-1})=\dfrac{1}{2n+k-1}\dfrac{2x_{k-1}}{x_k+x_{k-1}}< \dfrac{1}{2n+k-1}$|cYxI
$\therefore\quad\forall\bar{x}_k\in[x_{k-1},x_k]:$$a~
$\qquad\quad\displaystyle{\small\sum_{k=1}^{8n}\frac{1}{2n+k} <\sum_{k=1}^{8n}\frac{2\bar{x}_k}{\bar{x}_k^2+1}(x_k-x_{k-1})<\sum_{k=1}^{8n}\frac{1}{2n+k-1}}$'nB~"r
$\qquad\quad\displaystyle{\small H_{10n}-H_{2n}<\sum_{k=1}^{8n}\frac{2\bar{x}_k}{\bar{x}_k^2+1}(x_k-x_{k-1})<H_{10n-1}-H_{2n-1}}$snMw3L
$\qquad\quad\displaystyle{0\small < H_{10n}-H_{2n}-\sum_{k=1}^{8n}\frac{2\bar{x}_k}{\bar{x}_k^2+1}(x_k-x_{k-1})< \frac{1}{2n}-\frac{1}{10n}}${
$\therefore\quad\displaystyle{\small\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{8n}\frac{2\bar{x}_k}{\bar{x}_k^2+1}(x_k-x_{k-1})}=\ln 5$.9


发贴时间2019/11/16 06:18am IP: 已设置保密[本文共1200字节]  
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  注记:$\,H_n={\small\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}},\;}H_{mn}-H_{kn}\to\ln\small\dfrac{m}{k},\,$而$\;\small\dfrac{2x}{x^2+1}\;(x\ge 1)\,$递减.I34^


发贴时间2019/11/16 07:20am IP: 已设置保密[本文共180字节]  

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