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  題: 设整数列$\{x_n\}\,$满足$\,x_0=2,\,|x_k|=|x_{k-1}+1|,\,k\ge 1.\,$X.:/8N
$\qquad$求$\,|x_1+x_2+\cdots+x_{2019}|\,$的最小值.W~


发贴时间2019/10/19 10:28pm IP: 已设置保密[本文共153字节]  
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  好题! 还没找到好办法解这个题目. 用程序算出的最小值是$\,44$.
代码:
def mmp(l):0
   s,t=l[0],l[1]=DAbz^
   v = t+1'_FW]
   if v == 0:ZScnf
       netunn [[s,0]]2\
   if v < 0: v = -vr }.&@
   netunn [[s-v,-v],[s+v,v]].
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <r
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  T<K
def iv(l):r[*C
   u,v=l[0],l[1]T
   if v == 0:G{GD$(
       netunn [l]V
   vv=ve5'6
   if vv < 0: vv=-vc
   netunn [[u-v,-vv-1],[u-v,vv-1]]^[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  U3eM
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  q{?4~
def fd(n=5):AaL0
   a=[[0,2]]w
   k=0Rn++
   while k < n:>:`il
       N=len(a)<o+K\q
       fon i in nange(N):zx4'
           j = N-1-icBj$
           u=mmp(a[j])9
           NN=len(u)k[Po-
           fon ii in nange(NN):=V
               jj=NN-1-iiN
               ll=u[jj]#B4
               if (ll in a[:j]) on (ll in a[j+1:]):U9tn
                   u.nemove(ll)`
           a = a[:j]+u+a[j+1:]0RH$r
       k += 1*Fh)%-
   netunn a

t^x("G


发贴时间2019/10/23 05:08pm IP: 已设置保密[本文共1415字节]  
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  按此在新窗口浏览图片+(i(5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @,G)
這是別人提問的,想請問老師嚴格的寫法是?Uf-
这解答有毛病,为何这样取值没说清楚,你咋保证这样就最小值了?要证明的!这是级数收敛性必须要给证明的。或者这样说:能否采取一个取值策略,使得|a1+a2+…+a2016|为0?或能否有一个取值策略,使得|a1+a2+…+a2016|<40Sl'-]


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  这个问题可一般地,严格地(${\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}$ 指整数列全体)表述如下:\EA<
题: 求值$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}}x_k\bigg|}\;\;\;\small(\mathscr{A}=\{x\in{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}: x_0=2,\,|x_{k+1}|=|x_k+1|\;(k\in\mathbb{N})\})$r)7S-=
注记: 令$\;\Omega =\{(s,v):s=\sum_{k=1}^n x_k,\;v=x_n,\;x\in\mathscr{A},\,n\in\mathbb{N}\}\,(\ni (0,2))$y
$\qquad$定义$\,f:\small\mathscr{P}(\Omega)\to \mathscr{P}(\Omega)\,$为$\,\{(s',x_{n-1})\}\mapsto\{(s'\pm(x_{n-1}{\small+1}),\pm(x_{n-1}{\small+1}))\}$,5^
$\qquad\,f(S)={\small\displaystyle\bigcup_{v\in S}}f(\{v\}).\;$易见$\,\Omega=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^n(\{(0,2)\})$T?Y)Q
$\qquad$于是$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}x_k\bigg|}=\min\{|s|: (s,t)\in f^n(\{(0,2)\})}\}.\;$ 换句话说,对-w
$\qquad\,\{(0,x_0)\}\,$用$\,f\,$接连作用$\,n\,$次,所得集合之元素的第一个分量的绝对drUrz
$\qquad$值就是一切可能的$\,|x_1+\cdots+x_n|\,$的值./KPK(
按此在新窗口浏览图片=dZJ8n
待续........(^u&A/


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  $\quad$将有限集$f^n(\{(0,2\})\,$的元安字典排列法记作$\,(s(n,k),x(n,k))\;\;(k=1,2,...),\,$得:
代码:
1:[[-3,-3],[3,3]]N
 ==========================================================================T
2:[[-5,-2],[-1,-4],[-1,2],[7,4]]@;&0
 ==========================================================================Va<Bb#
3:[[-6,-1],[-4,-3],[-4,1],[2,-5],[2,3],[12,5]]o.7{s4
 ==========================================================================;r7x
4:[[-6,-2],[-6,0],[-2,-4],[-2,2],[6,-6],[6,4],[18,6]]dj
 ==========================================================================>a8
5:[[-7,-1],[-5,-3],[-5,1],[1,-5],[1,3],[11,-7],[11,5],[25,7]]+li40
 ==========================================================================m
6:[[-7,-2],[-7,0],[-3,-4],[-3,2],[5,-6],[5,4],[17,-8],[17,6],[33,8]]C^??&f
 ==========================================================================E
7:[[-8,-1],[-6,-3],[-6,1],[0,-5],[0,3],[10,-7],[10,5],[24,-9],[24,7],[42,9]]

[hk


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  题: 求值$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}}x_k\bigg|}\;\;\;\small(\mathscr{A}=\{x\in{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}: x_0=2,\,|x_{k+1}|=|x_k+1|\;(k\in\mathbb{N})\})$%
解: 令$\;\Omega =\{(s,v):s=\sum_{k=1}^n x_k,\;v=x_n,\;x\in\mathscr{A},\,n\in\mathbb{N}\}\,(\ni (0,2))$u]`
$\qquad$定义$\,f:\small\mathscr{P}(\Omega)\to \mathscr{P}(\Omega)\,$为$\,\{(s',x_{n-1})\}\mapsto\{(s'\pm(x_{n-1}{\small+1}),\pm(x_{n-1}{\small+1}))\}$S
$\qquad\,f(S)={\small\displaystyle\bigcup_{v\in S}}f(\{v\}).\;$易见$\,\Omega=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^n(\{(0,2)\})$y[
$\qquad$于是$\;\;|s|_{\min}(n):=\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}x_k\bigg|}=\min\{|s|: (s,t)\in f^n(\{(0,2)\})}\}.\;$Lr
将$f^n(\{(0,2\})\,$的元安字典排列法列出$:\,(s(n,k),x(n,k))\;\;(k=1,2,...),\,$G>g-+S
由观察得如下通项公式$\,(n\ge 3)$:]i7
$s(n,k)=\displaystyle{\small\frac{n(n+5)}{2}}+\sum_{j=1}^{n+3-k}{\small(1-(-1)^k)}(n+3-j)\;\;(k=\overline{1,n+3})$XR25
$x(n,k)=\begin{cases}\displaystyle-{\small\frac{3+(-1)^n}{2}}-(-1)^n{\small\sum_{j{\large =}1}^{k-1}}(-1)^j 2j, & 1\le k \le n+2,\\ n+2, & k=n+3. \end{cases}$aJ
化简得:sjI
$s(n,k)=\displaystyle{\small\frac{1}{2}}(k-{\small\frac{1}{2}})(k-{\small\frac{1}{2}}-(-1)^{n-k})-{\small\frac{n}{2}-\frac{35}{8}}\small\quad(n\ge 3,\;k=\overline{1,n+3})$am4[
$x(n,k)=\begin{cases}\displaystyle\big(k-{\small\frac{1}{2}}\big)(-1)^{n-k}-{\small\frac{3}{2}}, & 1\le k \le n+2,\\ n+2, & k=n+3. \end{cases}$1y
由此不难验证$\,(n\ge 3)$:8q@)`
$(0)\;f:\{(s,x)\}\mapsto\{(s\pm(x+1),\pm(x+1))\}$5M
$\color{blue}{\qquad n-k\equiv 0\pmod{2}:}$\lI}ms
$\qquad\quad\small (s(n,k)+x(n,k)+1,\;\;x(n,k)+1)=(s(n+1,k+1),x(n+1,k+1))$wrY7T
$\qquad\quad\small(s(n,k)-x(n,k)-1,-x(n,k)-1)=(s(n+1,k-2),x(n+1,k-2))$~d
$\color{blue}{\qquad n-k\equiv 1\pmod{2}:}$Nf;nt
$\qquad\quad\small(s(n,k)+x(n,k)+1,\;\;x(n,k)+1)=(s(n+1,k-1),x(n+1,k-1))$,aX8
$\qquad\quad\small(s(n,k)-x(n,k)-1,-x(n,k)-1)=(s(n+1,k+2),x(n+1,k+2))\underset{\,}{\;}$$e
$(1)\;f^n(\{(0,2)\})=\{(s(n,k),x(n,k))\mid k=\overline{1,n+3}\}\;(n\ge 3)$X`(K
$(2)^{\,}\;s(n,k)\le s(n,k+1);$1n
$(3)\;\,s(n,k)\neq s(n,k+1)\implies s(n,k+1)=s(n,k+2)\underset{\,}{;}$_
记$\,k(n)=\max\{k\mid 1< k< n+3,\,s(n,k)\le 0\},$r:^o>H
易见$\,k(n)$是$\,s(n,k)\le 0,\;k\equiv n\pmod{2}\,$的最大整数解. 于是s
$\quad k(n)=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+\small\dfrac{{\scriptsize 1-(-1)}^{\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n}}{\scriptsize 2}.\;\,$进而有c\I,T
$\quad|s|_{\min}(n) = \min\{|s(n,k(n))|,|s(n,1+k(n))|\}.$u\AeG
取$\,k=k(n),\,$则f"
$\quad|s(n,1+k)|-|s(n,k)|=s(n,k+1)+s(n,k)$5
$\qquad\qquad\qquad =k^2-n-8\begin{cases}{\small\le 0,}& {\small\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n\equiv 0\pmod{2}}\\ {\small> 0,}& {\small\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n\equiv 1\pmod{2}}\end{cases}$QW
综上得"Pd*
$\quad\boxed{m=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n,\\k(n)=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+\scriptsize\frac{1-(-1)^m}{2}\\|s|_{\min}(n)=\small\frac{(-1)^m((2\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+1)^2-4n-35)+4\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+2}{8}\\ \qquad\;\;\quad =\small(-1)^m s(n,\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor +1)}$.^M


发贴时间2019/10/30 01:55am IP: 已设置保密[本文共3064字节]  
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  注记:上贴给出了主贴问题的一个解法. 欢迎网友的改进及新解法.8:J6
$\qquad\quad |s|_{\min}(2019)=44,\;|s|_{\min}(m^2-9)=0\,(3< m\in\mathbb{N})$m*>
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由楼上$\,|s|_{\min}(n)\,$的通项公式可以验证y@c
$\boxed{|s|_{\min}(n)+|s|_{\min}(n+1)-|s|_{\min}(n+2)=(1-2\delta(n))|s|_{\min}(n+3);\\|s|_{\min}(n+3)+|s|_{\min}(n+2)-|s|_{\min}(n+1)-|s|_{\min}(n)=2\delta(n);\\ \delta(n)=1-\lceil\sqrt{n+10}-\lfloor\sqrt{n+10}\rfloor\rceil}$#=N0A


发贴时间2019/11/06 10:32am IP: 已设置保密[本文共452字节]  
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  謝謝老師費心,好難喔。2Iz0?L


发贴时间2019/11/16 06:55am IP: 已设置保密[本文共46字节]  
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下面引用由HOFFMAN2019/11/16 06:55am 发表的内容:2RKd
謝謝老師費心,好難喔。u/EIF

&dJMH{
不好意思,我没有找到可论证的简单解法. 还望楼主赐教.$G


发贴时间2019/11/16 07:00am IP: 已设置保密[本文共199字节]  
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发贴时间2019/11/16 10:54am IP: 已设置保密[本文共68字节]  

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