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  題: 设整数列$\{x_n\}\,$满足$\,x_0=2,\,|x_k|=|x_{k-1}+1|,\,k\ge 1.\,$V
$\qquad$求$\,|x_1+x_2+\cdots+x_{2019}|\,$的最小值.6(s]#


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  好题! 还没找到好办法解这个题目. 用程序算出的最小值是$\,44$.
代码:
def mmp(l):^[`KRz
   s,t=l[0],l[1]d$g7
   v = t+1L>17
   if v == 0:s$!o4
       netunn [[s,0]]
   if v < 0: v = -vKd^):i
   netunn [[s-v,-v],[s+v,v]]=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K{vi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  KF
def iv(l):+O+EJ;
   u,v=l[0],l[1]EM8
   if v == 0:y^5IMR
       netunn [l]6K-Q
   vv=v`
   if vv < 0: vv=-vZ
   netunn [[u-v,-vv-1],[u-v,vv-1]]"S:cR
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \,
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [N
def fd(n=5):H;^cG
   a=[[0,2]]R
   k=0|
   while k < n:z*t
       N=len(a)M
       fon i in nange(N):h
           j = N-1-ib
           u=mmp(a[j])Nv,4X
           NN=len(u)cT:
           fon ii in nange(NN):\DK
               jj=NN-1-iiH};U
               ll=u[jj]:
               if (ll in a[:j]) on (ll in a[j+1:]):AA}#
                   u.nemove(ll)9064cY
           a = a[:j]+u+a[j+1:]x+
       k += 1_BuH!K
   netunn a

pOW/^b


发贴时间2019/10/23 05:08pm IP: 已设置保密[本文共1415字节]  
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  按此在新窗口浏览图片-tfcBj
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \HnjZ
這是別人提問的,想請問老師嚴格的寫法是?x=rEj
这解答有毛病,为何这样取值没说清楚,你咋保证这样就最小值了?要证明的!这是级数收敛性必须要给证明的。或者这样说:能否采取一个取值策略,使得|a1+a2+…+a2016|为0?或能否有一个取值策略,使得|a1+a2+…+a2016|<40pLh


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  这个问题可一般地,严格地(${\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}$ 指整数列全体)表述如下:$XU
题: 求值$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}}x_k\bigg|}\;\;\;\small(\mathscr{A}=\{x\in{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}: x_0=2,\,|x_{k+1}|=|x_k+1|\;(k\in\mathbb{N})\})${k'
注记: 令$\;\Omega =\{(s,v):s=\sum_{k=1}^n x_k,\;v=x_n,\;x\in\mathscr{A},\,n\in\mathbb{N}\}\,(\ni (0,2))$|'K:
$\qquad$定义$\,f:\small\mathscr{P}(\Omega)\to \mathscr{P}(\Omega)\,$为$\,\{(s',x_{n-1})\}\mapsto\{(s'\pm(x_{n-1}{\small+1}),\pm(x_{n-1}{\small+1}))\}$>}P
$\qquad\,f(S)={\small\displaystyle\bigcup_{v\in S}}f(\{v\}).\;$易见$\,\Omega=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^n(\{(0,2)\})$:h4$
$\qquad$于是$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}x_k\bigg|}=\min\{|s|: (s,t)\in f^n(\{(0,2)\})}\}.\;$ 换句话说,对dc,{{
$\qquad\,\{(0,x_0)\}\,$用$\,f\,$接连作用$\,n\,$次,所得集合之元素的第一个分量的绝对B~)8
$\qquad$值就是一切可能的$\,|x_1+\cdots+x_n|\,$的值.;Hs
按此在新窗口浏览图片|W
待续........0


发贴时间2019/10/24 05:20am IP: 已设置保密[本文共1036字节]  
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  $\quad$将有限集$f^n(\{(0,2\})\,$的元安字典排列法记作$\,(s(n,k),x(n,k))\;\;(k=1,2,...),\,$得:
代码:
1:[[-3,-3],[3,3]]j
 ==========================================================================01yMBx
2:[[-5,-2],[-1,-4],[-1,2],[7,4]]qg4Zo"
 ==========================================================================r
3:[[-6,-1],[-4,-3],[-4,1],[2,-5],[2,3],[12,5]]ro
 ==========================================================================,g`L
4:[[-6,-2],[-6,0],[-2,-4],[-2,2],[6,-6],[6,4],[18,6]]5*-ShK
 ==========================================================================73d`r`
5:[[-7,-1],[-5,-3],[-5,1],[1,-5],[1,3],[11,-7],[11,5],[25,7]]XXD?x
 ==========================================================================k
6:[[-7,-2],[-7,0],[-3,-4],[-3,2],[5,-6],[5,4],[17,-8],[17,6],[33,8]]#mf
 ==========================================================================1
7:[[-8,-1],[-6,-3],[-6,1],[0,-5],[0,3],[10,-7],[10,5],[24,-9],[24,7],[42,9]]

+ku+F


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  题: 求值$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}}x_k\bigg|}\;\;\;\small(\mathscr{A}=\{x\in{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}: x_0=2,\,|x_{k+1}|=|x_k+1|\;(k\in\mathbb{N})\})$DJx
解: 令$\;\Omega =\{(s,v):s=\sum_{k=1}^n x_k,\;v=x_n,\;x\in\mathscr{A},\,n\in\mathbb{N}\}\,(\ni (0,2))$e
$\qquad$定义$\,f:\small\mathscr{P}(\Omega)\to \mathscr{P}(\Omega)\,$为$\,\{(s',x_{n-1})\}\mapsto\{(s'\pm(x_{n-1}{\small+1}),\pm(x_{n-1}{\small+1}))\}$$Iqw#G
$\qquad\,f(S)={\small\displaystyle\bigcup_{v\in S}}f(\{v\}).\;$易见$\,\Omega=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^n(\{(0,2)\})$l}8Z`U
$\qquad$于是$\;\;|s|_{\min}(n):=\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}x_k\bigg|}=\min\{|s|: (s,t)\in f^n(\{(0,2)\})}\}.\;$0Zhj8
将$f^n(\{(0,2\})\,$的元安字典排列法列出$:\,(s(n,k),x(n,k))\;\;(k=1,2,...),\,$Pv)fMr
由观察得如下通项公式$\,(n\ge 3)$:*gjg
$s(n,k)=\displaystyle{\small\frac{n(n+5)}{2}}+\sum_{j=1}^{n+3-k}{\small(1-(-1)^k)}(n+3-j)\;\;(k=\overline{1,n+3})$c]m
$x(n,k)=\begin{cases}\displaystyle-{\small\frac{3+(-1)^n}{2}}-(-1)^n{\small\sum_{j{\large =}1}^{k-1}}(-1)^j 2j, & 1\le k \le n+2,\\ n+2, & k=n+3. \end{cases}$rn<I!s
化简得:0C
$s(n,k)=\displaystyle{\small\frac{1}{2}}(k-{\small\frac{1}{2}})(k-{\small\frac{1}{2}}-(-1)^{n-k})-{\small\frac{n}{2}-\frac{35}{8}}\small\quad(n\ge 3,\;k=\overline{1,n+3})$+
$x(n,k)=\begin{cases}\displaystyle\big(k-{\small\frac{1}{2}}\big)(-1)^{n-k}-{\small\frac{3}{2}}, & 1\le k \le n+2,\\ n+2, & k=n+3. \end{cases}$)O
由此不难验证$\,(n\ge 3)$:O
$(0)\;f:\{(s,x)\}\mapsto\{(s\pm(x+1),\pm(x+1))\}$ZUIZ7
$\color{blue}{\qquad n-k\equiv 0\pmod{2}:}${5z>l
$\qquad\quad\small (s(n,k)+x(n,k)+1,\;\;x(n,k)+1)=(s(n+1,k+1),x(n+1,k+1))$IQ)Q
$\qquad\quad\small(s(n,k)-x(n,k)-1,-x(n,k)-1)=(s(n+1,k-2),x(n+1,k-2))$Hy
$\color{blue}{\qquad n-k\equiv 1\pmod{2}:}$p4y
$\qquad\quad\small(s(n,k)+x(n,k)+1,\;\;x(n,k)+1)=(s(n+1,k-1),x(n+1,k-1))$-u
$\qquad\quad\small(s(n,k)-x(n,k)-1,-x(n,k)-1)=(s(n+1,k+2),x(n+1,k+2))\underset{\,}{\;}$A
$(1)\;f^n(\{(0,2)\})=\{(s(n,k),x(n,k))\mid k=\overline{1,n+3}\}\;(n\ge 3)$9/mh}
$(2)^{\,}\;s(n,k)\le s(n,k+1);$C*C
$(3)\;\,s(n,k)\neq s(n,k+1)\implies s(n,k+1)=s(n,k+2)\underset{\,}{;}$8+#
记$\,k(n)=\max\{k\mid 1< k< n+3,\,s(n,k)\le 0\},$F`Z
易见$\,k(n)$是$\,s(n,k)\le 0,\;k\equiv n\pmod{2}\,$的最大整数解. 于是7)">4Z
$\quad k(n)=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+\small\dfrac{{\scriptsize 1-(-1)}^{\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n}}{\scriptsize 2}.\;\,$进而有Km
$\quad|s|_{\min}(n) = \min\{|s(n,k(n))|,|s(n,1+k(n))|\}.$_gQ
取$\,k=k(n),\,$则Mn6N0P
$\quad|s(n,1+k)|-|s(n,k)|=s(n,k+1)+s(n,k)$ik%\)
$\qquad\qquad\qquad =k^2-n-8\begin{cases}{\small\le 0,}& {\small\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n\equiv 0\pmod{2}}\\ {\small> 0,}& {\small\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n\equiv 1\pmod{2}}\end{cases}$BI"F
综上得35~(
$\quad\boxed{m=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n,\\k(n)=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+\scriptsize\frac{1-(-1)^m}{2}\\|s|_{\min}(n)=\small\frac{(-1)^m((2\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+1)^2-4n-35)+4\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+2}{8}\\ \qquad\;\;\quad =\small(-1)^m s(n,\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor +1)}$E44


发贴时间2019/10/30 01:55am IP: 已设置保密[本文共3064字节]  
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  注记:上贴给出了主贴问题的一个解法. 欢迎网友的改进及新解法.m
$\qquad\quad |s|_{\min}(2019)=44,\;|s|_{\min}(m^2-9)=0\,(3< m\in\mathbb{N})$S~hiB
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6,x'A
由楼上$\,|s|_{\min}(n)\,$的通项公式可以验证<'! /8
$\boxed{|s|_{\min}(n)+|s|_{\min}(n+1)-|s|_{\min}(n+2)=(1-2\delta(n))|s|_{\min}(n+3);\\|s|_{\min}(n+3)+|s|_{\min}(n+2)-|s|_{\min}(n+1)-|s|_{\min}(n)=2\delta(n);\\ \delta(n)=1-\lceil\sqrt{n+10}-\lfloor\sqrt{n+10}\rfloor\rceil}$oZJaG=


发贴时间2019/11/06 10:32am IP: 已设置保密[本文共452字节]  
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  謝謝老師費心,好難喔。1*fTf


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下面引用由HOFFMAN2019/11/16 06:55am 发表的内容:<XAw
謝謝老師費心,好難喔。_`~S0

7b486
不好意思,我没有找到可论证的简单解法. 还望楼主赐教.sTPE{m


发贴时间2019/11/16 07:00am IP: 已设置保密[本文共199字节]  
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