>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:设$\,x_0=2,\;|x_k|=|x_{k-1}+1|,\,k\ge 1.\,$试求$\,|x_1+\cdots+x_{2019}|$ 的最小值. 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 42 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 654 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 设$\,x_0=2,\;|x_k|=|x_{k-1}+1|,\,k\ge 1.\,$试求$\,|x_1+\cdots+x_{2019}|$ 的最小值. 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 HOFFMAN 




等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线
威望: 0 积分: 0
现金: 10420 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 238
精华: 0
资料:  
在线: 40 时 16 分 34 秒
注册: 2014/01/27 00:28am
造访: 2020/07/22 01:37pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  題: 设整数列$\{x_n\}\,$满足$\,x_0=2,\,|x_k|=|x_{k-1}+1|,\,k\ge 1.\,$4&
$\qquad$求$\,|x_1+x_2+\cdots+x_{2019}|\,$的最小值.q


发贴时间2019/10/19 10:28pm IP: 已设置保密[本文共153字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  好题! 还没找到好办法解这个题目. 用程序算出的最小值是$\,44$.
代码:
def mmp(l):"?WBik
   s,t=l[0],l[1]u
   v = t+1I7.'gc
   if v == 0:&D5|
       netunn [[s,0]]@S=|
   if v < 0: v = -v!T/
   netunn [[s-v,-v],[s+v,v]]PEZ
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =4y
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (moG
def iv(l):kv!T
   u,v=l[0],l[1]e7
   if v == 0:(l
       netunn [l]@
   vv=v7,
   if vv < 0: vv=-v$[
   netunn [[u-v,-vv-1],[u-v,vv-1]]X~
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  {(JDF
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %1qRA
def fd(n=5):kOd<DP
   a=[[0,2]]'
   k=0?F
   while k < n:Fah
       N=len(a)RuV
       fon i in nange(N):Q(
           j = N-1-i,?z=3
           u=mmp(a[j])hM
           NN=len(u)JfR
           fon ii in nange(NN):[Zb,`;
               jj=NN-1-iil_Fy?
               ll=u[jj]~\U<h-
               if (ll in a[:j]) on (ll in a[j+1:]):w8s2w
                   u.nemove(ll)~?f
           a = a[:j]+u+a[j+1:](l
       k += 1e{<id
   netunn a

`9^{6A


发贴时间2019/10/23 05:08pm IP: 已设置保密[本文共1415字节]  
 HOFFMAN 




等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线
威望: 0 积分: 0
现金: 10420 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 238
精华: 0
资料:  
在线: 40 时 16 分 34 秒
注册: 2014/01/27 00:28am
造访: 2020/07/22 01:37pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  按此在新窗口浏览图片CL
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  pTB
這是別人提問的,想請問老師嚴格的寫法是?)
这解答有毛病,为何这样取值没说清楚,你咋保证这样就最小值了?要证明的!这是级数收敛性必须要给证明的。或者这样说:能否采取一个取值策略,使得|a1+a2+…+a2016|为0?或能否有一个取值策略,使得|a1+a2+…+a2016|<40M0)pr


发贴时间2019/10/24 00:20am IP: 已设置保密[本文共326字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  这个问题可一般地,严格地(${\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}$ 指整数列全体)表述如下:bG*.5
题: 求值$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}}x_k\bigg|}\;\;\;\small(\mathscr{A}=\{x\in{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}: x_0=2,\,|x_{k+1}|=|x_k+1|\;(k\in\mathbb{N})\})$({@
注记: 令$\;\Omega =\{(s,v):s=\sum_{k=1}^n x_k,\;v=x_n,\;x\in\mathscr{A},\,n\in\mathbb{N}\}\,(\ni (0,2))$F"C
$\qquad$定义$\,f:\small\mathscr{P}(\Omega)\to \mathscr{P}(\Omega)\,$为$\,\{(s',x_{n-1})\}\mapsto\{(s'\pm(x_{n-1}{\small+1}),\pm(x_{n-1}{\small+1}))\}$3i\`(
$\qquad\,f(S)={\small\displaystyle\bigcup_{v\in S}}f(\{v\}).\;$易见$\,\Omega=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^n(\{(0,2)\})$5W7
$\qquad$于是$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}x_k\bigg|}=\min\{|s|: (s,t)\in f^n(\{(0,2)\})}\}.\;$ 换句话说,对SG0B/
$\qquad\,\{(0,x_0)\}\,$用$\,f\,$接连作用$\,n\,$次,所得集合之元素的第一个分量的绝对?c0*Zh
$\qquad$值就是一切可能的$\,|x_1+\cdots+x_n|\,$的值.|
按此在新窗口浏览图片)n?5B
待续........88Pwz0


发贴时间2019/10/24 05:20am IP: 已设置保密[本文共1036字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 5 楼]
  $\quad$将有限集$f^n(\{(0,2\})\,$的元安字典排列法记作$\,(s(n,k),x(n,k))\;\;(k=1,2,...),\,$得:
代码:
1:[[-3,-3],[3,3]]QW(#
 ==========================================================================E!64
2:[[-5,-2],[-1,-4],[-1,2],[7,4]]1
 ==========================================================================b$M9
3:[[-6,-1],[-4,-3],[-4,1],[2,-5],[2,3],[12,5]]m !#
 ==========================================================================ij95a-
4:[[-6,-2],[-6,0],[-2,-4],[-2,2],[6,-6],[6,4],[18,6]]'X*
 ==========================================================================&lsdna
5:[[-7,-1],[-5,-3],[-5,1],[1,-5],[1,3],[11,-7],[11,5],[25,7]]I
 ==========================================================================j;
6:[[-7,-2],[-7,0],[-3,-4],[-3,2],[5,-6],[5,4],[17,-8],[17,6],[33,8]]7({=Iw
 ==========================================================================7O}
7:[[-8,-1],[-6,-3],[-6,1],[0,-5],[0,3],[10,-7],[10,5],[24,-9],[24,7],[42,9]]

\z'/l


发贴时间2019/10/24 00:12pm IP: 已设置保密[本文共1016字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 6 楼]
  题: 求值$\;\;\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}}x_k\bigg|}\;\;\;\small(\mathscr{A}=\{x\in{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}: x_0=2,\,|x_{k+1}|=|x_k+1|\;(k\in\mathbb{N})\})$.k38yk
解: 令$\;\Omega =\{(s,v):s=\sum_{k=1}^n x_k,\;v=x_n,\;x\in\mathscr{A},\,n\in\mathbb{N}\}\,(\ni (0,2))$/(4G
$\qquad$定义$\,f:\small\mathscr{P}(\Omega)\to \mathscr{P}(\Omega)\,$为$\,\{(s',x_{n-1})\}\mapsto\{(s'\pm(x_{n-1}{\small+1}),\pm(x_{n-1}{\small+1}))\}$wn[#c
$\qquad\,f(S)={\small\displaystyle\bigcup_{v\in S}}f(\{v\}).\;$易见$\,\Omega=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^n(\{(0,2)\})$knc
$\qquad$于是$\;\;|s|_{\min}(n):=\displaystyle{\min_{x\in\mathscr{A}}\bigg|{\sum_{n=1}^{ n}x_k\bigg|}=\min\{|s|: (s,t)\in f^n(\{(0,2)\})}\}.\;$D\dq
将$f^n(\{(0,2\})\,$的元安字典排列法列出$:\,(s(n,k),x(n,k))\;\;(k=1,2,...),\,$1
由观察得如下通项公式$\,(n\ge 3)$:nb2
$s(n,k)=\displaystyle{\small\frac{n(n+5)}{2}}+\sum_{j=1}^{n+3-k}{\small(1-(-1)^k)}(n+3-j)\;\;(k=\overline{1,n+3})$i)wN
$x(n,k)=\begin{cases}\displaystyle-{\small\frac{3+(-1)^n}{2}}-(-1)^n{\small\sum_{j{\large =}1}^{k-1}}(-1)^j 2j, & 1\le k \le n+2,\\ n+2, & k=n+3. \end{cases}$V
化简得:"du]ll
$s(n,k)=\displaystyle{\small\frac{1}{2}}(k-{\small\frac{1}{2}})(k-{\small\frac{1}{2}}-(-1)^{n-k})-{\small\frac{n}{2}-\frac{35}{8}}\small\quad(n\ge 3,\;k=\overline{1,n+3})$jN4#O$
$x(n,k)=\begin{cases}\displaystyle\big(k-{\small\frac{1}{2}}\big)(-1)^{n-k}-{\small\frac{3}{2}}, & 1\le k \le n+2,\\ n+2, & k=n+3. \end{cases}$#jd1!3
由此不难验证$\,(n\ge 3)$://
$(0)\;f:\{(s,x)\}\mapsto\{(s\pm(x+1),\pm(x+1))\}$GL[?mu
$\color{blue}{\qquad n-k\equiv 0\pmod{2}:}$R3Z
$\qquad\quad\small (s(n,k)+x(n,k)+1,\;\;x(n,k)+1)=(s(n+1,k+1),x(n+1,k+1))$Z"^xs
$\qquad\quad\small(s(n,k)-x(n,k)-1,-x(n,k)-1)=(s(n+1,k-2),x(n+1,k-2))$Z&R
$\color{blue}{\qquad n-k\equiv 1\pmod{2}:}$DJM_yn
$\qquad\quad\small(s(n,k)+x(n,k)+1,\;\;x(n,k)+1)=(s(n+1,k-1),x(n+1,k-1))$)!|w6W
$\qquad\quad\small(s(n,k)-x(n,k)-1,-x(n,k)-1)=(s(n+1,k+2),x(n+1,k+2))\underset{\,}{\;}$=c*kZ8
$(1)\;f^n(\{(0,2)\})=\{(s(n,k),x(n,k))\mid k=\overline{1,n+3}\}\;(n\ge 3)$,_
$(2)^{\,}\;s(n,k)\le s(n,k+1);$X-f`
$(3)\;\,s(n,k)\neq s(n,k+1)\implies s(n,k+1)=s(n,k+2)\underset{\,}{;}$-O&cO:
记$\,k(n)=\max\{k\mid 1< k< n+3,\,s(n,k)\le 0\},$_
易见$\,k(n)$是$\,s(n,k)\le 0,\;k\equiv n\pmod{2}\,$的最大整数解. 于是FF
$\quad k(n)=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+\small\dfrac{{\scriptsize 1-(-1)}^{\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n}}{\scriptsize 2}.\;\,$进而有W1J*<5
$\quad|s|_{\min}(n) = \min\{|s(n,k(n))|,|s(n,1+k(n))|\}.$Dsd
取$\,k=k(n),\,$则L.G}Z
$\quad|s(n,1+k)|-|s(n,k)|=s(n,k+1)+s(n,k)$px][Q-
$\qquad\qquad\qquad =k^2-n-8\begin{cases}{\small\le 0,}& {\small\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n\equiv 0\pmod{2}}\\ {\small> 0,}& {\small\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n\equiv 1\pmod{2}}\end{cases}$giW
综上得tl
$\quad\boxed{m=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor-n,\\k(n)=\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+\scriptsize\frac{1-(-1)^m}{2}\\|s|_{\min}(n)=\small\frac{(-1)^m((2\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+1)^2-4n-35)+4\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor+2}{8}\\ \qquad\;\;\quad =\small(-1)^m s(n,\lfloor\sqrt{n+9}\rfloor +1)}$J&`C;


发贴时间2019/10/30 01:55am IP: 已设置保密[本文共3064字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 7 楼]
  注记:上贴给出了主贴问题的一个解法. 欢迎网友的改进及新解法.{C
$\qquad\quad |s|_{\min}(2019)=44,\;|s|_{\min}(m^2-9)=0\,(3< m\in\mathbb{N})$TK
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %3 zO}
由楼上$\,|s|_{\min}(n)\,$的通项公式可以验证"n#8R
$\boxed{|s|_{\min}(n)+|s|_{\min}(n+1)-|s|_{\min}(n+2)=(1-2\delta(n))|s|_{\min}(n+3);\\|s|_{\min}(n+3)+|s|_{\min}(n+2)-|s|_{\min}(n+1)-|s|_{\min}(n)=2\delta(n);\\ \delta(n)=1-\lceil\sqrt{n+10}-\lfloor\sqrt{n+10}\rfloor\rceil}$H


发贴时间2019/11/06 10:32am IP: 已设置保密[本文共452字节]  
 HOFFMAN 




等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线
威望: 0 积分: 0
现金: 10420 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 238
精华: 0
资料:  
在线: 40 时 16 分 34 秒
注册: 2014/01/27 00:28am
造访: 2020/07/22 01:37pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 8 楼]
  謝謝老師費心,好難喔。FZsI


发贴时间2019/11/16 06:55am IP: 已设置保密[本文共46字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 9 楼]
 
下面引用由HOFFMAN2019/11/16 06:55am 发表的内容:V
謝謝老師費心,好難喔。F8

6wgiC
不好意思,我没有找到可论证的简单解法. 还望楼主赐教.??o


发贴时间2019/11/16 07:00am IP: 已设置保密[本文共199字节]  
 HOFFMAN 




等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线
威望: 0 积分: 0
现金: 10420 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 238
精华: 0
资料:  
在线: 40 时 16 分 34 秒
注册: 2014/01/27 00:28am
造访: 2020/07/22 01:37pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 10 楼]
  按此在新窗口浏览图片g


发贴时间2019/11/16 10:54am IP: 已设置保密[本文共68字节]  

 2 9 7 [ 1 2 ] 8 :

快速回复主题: 设$\,x_0=2,\;|x_k|=|x_{k-1}+1|,\,k\ge 1.\,$试求$\,|x_1+\cdots+x_{2019}|$ 的最小值.
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关