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 elim 
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  试证:(Polya)$\quad{\small\dfrac{e}{2n+2}}< e-\big(1+\frac{1}{n}\big)^n< \small\dfrac{e}{2n+1}\;\small(n\in\mathbb{N}^+)$6Af
证:令$\;\;{\small f(x)=\ln(1+x)-x-x\ln}\frac{2}{2+x},\underset{\,}{\;}$则K(TO
$\qquad {\small f\,'(x)=}\frac{1}{1+x}+\frac{x}{2+x}{\small -1-\ln}\frac{2}{2+x},{\small\quad f\,''(x)=}\frac{x(x^2+5x+5)}{((x+1)(x+2))^2}$.
$\qquad\small f\,'(0)=0,\;f\,''(x)>0\;(x>0)\quad\therefore\;\; f(x)> 0\,(x > 0).\;$可见8jd
$\qquad{\small\ln}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}{\small >\ln}\frac{2}{2+x},\;{\small 1-}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}{\small< 1-}\frac{2}{2+x},\;\boxed{\small e-(1+x)^{\frac{1}{x}}<\scriptsize\frac{ex}{2+x}}$c
$\qquad$令$\underset{\,}{\;}{\small g(x)=x+x\ln}\frac{2+x}{2+2x}\small-\ln(x+1),\;$则$\;{\small g\,'(x)=}\frac{x}{x+2}{\small -\ln(1+}\frac{x}{x+2})$l>V6'3
$\qquad\frac{2+x}{2+2x}>\frac{(1+x)^{1/x}}{e},\;$可见$\;\;\boxed{{\scriptsize\frac{ex}{2+2x}}{\small < e-(1+x)^{1/x}<}\scriptsize\frac{ex}{2+x}\;(x > 0)}$O7|Ksg
$\qquad$取$\;{\small x=}\frac{1}{n}\,$即得所论$\,\small\text{Polya}\,$不等式.{^/R*t


发贴时间2019/09/14 01:37am IP: 已设置保密[本文共1093字节]  
 elim 
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  辅助函数的选取可大大简化分析. 若直接从函数+(f{a"
$h(x)={\scriptsize\dfrac{ex}{2+x}}-(e-(1+x)^{1/x})\,$出发, 则很难对>
$h'(x)=\small\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{\large x}}(x+2)^2(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x))+2ex^2}{(x(x+2))^2}\,$作分析.p


发贴时间2019/09/18 11:19pm IP: 已设置保密[本文共247字节]  

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