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 elim 
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  题:$\;k\,$种元素作$\,n\,$排列,每种元素允许$\,{\small 0}\sim m(\le n)$次出现,排法几何?Icg$?
解:对$\small\,(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k,\;{\small\displaystyle\sum_{j=11}^9} n_j = n,\;$积$\;\binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}\cdots=\large\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$=M
$\qquad$是第$\,j\,$种元素出现$\,n_j\,$次的$\,n-$排列数.可见所求排列总数为多项式%rNba{
$\qquad \lambda_0+\lambda_1x+\cdots+\lambda_{mk}x^{mk}=n!(\frac{x^0}{0!}+\frac{x}{1!}\cdots+\frac{x^m}{m!})^k\,$的$\,x^n\,$中系数$\,\underset{\,}{\lambda_n}$<#q;
$\qquad\lambda_n =\displaystyle\;\sum_{\small(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k\atop n_1+\cdots+n_k=n}\small\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}=\frac{d^n}{dx^n}\big(1+\cdots\frac{x^m}{m!}\big)^k\big|_{x=0}\qquad\square$T&^MjM


发贴时间2019/08/16 07:07am IP: 已设置保密[本文共779字节]  
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  令$\;g_m(x)={\small\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!},\;\;}E(m,n,k)=(g_m^n)^{(k)}({\small 0}),\;$不难得到以下公式:``
$E(m,n+1,k)=\displaystyle{\small\sum_{\max(0,\,k-m)}^{\min(k,mn)}}\binom{k}{j}E(m,n,j)$W1d|V;

代码:
def E(m,n,k):UW
   a =[]yQ-
   for j in range(1+m*n):J#'^
       a.append(max(0,int(ceil((10-j)/(abs(j)+10.)))))F,zqKm
   b = list(a)*pX$
   p,q=a,b&%.$
   if k < 0 or k > m*(m+1)/2:9gm
       print "N/A"wB&
       exitL>@!p*
   idx = 12&F:
   print p-
   while idx < n:?VaV[
       idx += 1d*YF
       for l in range(m*idx):S[cz_r
           l += 1oz:IS
           s = 0>t<p)P
           for j in range(max(0,l-m),min(idx*m,l)+1):>]>lb
               s += binom(l,j)*p[j]{C}q|0
           q[l] = sM
       t = pCI=
       p = qG:3g(
       q = tkXmW\
   return p[k]

w<j0!Q
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发贴时间2019/08/20 02:40am IP: 已设置保密[本文共1284字节]  
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  题: 数码$\,1\sim 9\,$能构成多少$\,17\,$位数, 使得$\,j\,$至多出现$\,j\,$次?s
解: 令$\;g_m = \displaystyle{\small\sum_{i=0}^m} \frac{x^i}{i!},\;\;D(m,k)={\small\frac{d^{k}}{dx^{k}}}(g_1g_2\cdots g_m)(0),\,$则C@b50
$g'_{m+1}=g_m,\;\;g_j^{(i)}\small(0)=\begin{cases}1,& 0\le i\le j\\ 0,& i>j \end{cases},\;\;D(m,k)=\displaystyle\sum_{\max(0,k-m-1)}^{\min(k,\frac{m(m+1)}{2})}\binom{k}{j}D(m-1,j)$vt
$\qquad$利用这些性质可大大简化所求排列数$\,D(9,17):$
代码:
from math import *-d&<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  98kA
def v(m,k):7GC&
   return max(0,k-m-1)V,kQV'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  w
def u(m,k):W
   return min(k,m*(m+1)/2)baPZ:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  CsBg.
def binom(n,r):FMN
   if 0 > n: return 'N/A'8~
   if r < 0 or r > n: return 0&
   p = 1iy{
   if r > n-r: return binom(n,n-r)(n;
   for j in range(r):qPsTHl
       p=(p*(n-j))/(j+1)R
   return p|^')K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ePU4H
def D(m,k): @ ?"R
   a =[]}pMUq=
   for j in range(1+m*(m+1)/2):27O=
       a.append(1)?v
   b = list(a)Rh=
   p,q=a,bM
   if k < 0 or k > m*(m+1)/2:eInq
       print "N/A"] }h
       exitIx
   idx = 1Y?(2r
   while idx < m::M{~a6
       for l in range((idx+1)*(idx+2)/2):a%~
           l += 1jMYH;
           s = 0wDQ
           for j in range(v(idx,l),u(idx,l)+1):TCbER
               s += binom(l,j)*p[j]Mm
           q[l] = s]7wj
       t = pEY
       p = qXJV}M
       q = t{
       idx += 1bTO
   return p[k]

L&/GuX
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发贴时间2019/08/20 03:47am IP: 已设置保密[本文共1917字节]  
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