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  题:$\;k\,$种元素作$\,n\,$排列,每种元素允许$\,{\small 0}\sim m(\le n)$次出现,排法几何?4a0sB
解:对$\small\,(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k,\;{\small\displaystyle\sum_{j=11}^9} n_j = n,\;$积$\;\binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}\cdots=\large\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$/X
$\qquad$是第$\,j\,$种元素出现$\,n_j\,$次的$\,n-$排列数.可见所求排列总数为多项式Zt4cZ
$\qquad \lambda_0+\lambda_1x+\cdots+\lambda_{mk}x^{mk}=n!(\frac{x^0}{0!}+\frac{x}{1!}\cdots+\frac{x^m}{m!})^k\,$的$\,x^n\,$中系数$\,\underset{\,}{\lambda_n}$8*Zj
$\qquad\lambda_n =\displaystyle\;\sum_{\small(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k\atop n_1+\cdots+n_k=n}\small\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}=\frac{d^n}{dx^n}\big(1+\cdots\frac{x^m}{m!}\big)^k\big|_{x=0}\qquad\square$1fN


发贴时间2019/08/16 07:07am IP: 已设置保密[本文共779字节]  
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  令$\;g_m(x)={\small\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!},\;\;}E(m,n,k)=(g_m^n)^{(k)}({\small 0}),\;$不难得到以下公式:h
$E(m,n+1,k)=\displaystyle{\small\sum_{\max(0,\,k-m)}^{\min(k,mn)}}\binom{k}{j}E(m,n,j)$sW`\

代码:
def E(m,n,k):l
   a =[]N
   for j in range(1+m*n):Sc
       a.append(max(0,int(ceil((10-j)/(abs(j)+10.)))))(l
   b = list(a) ;q,)
   p,q=a,b"^
   if k < 0 or k > m*(m+1)/2:Qm
       print "N/A"O%9
       exitRr2
   idx = 1S4
   print pW%
   while idx < n:_/i
       idx += 1_v0
       for l in range(m*idx):tHm|
           l += 1WD3
           s = 0[J+YDf
           for j in range(max(0,l-m),min(idx*m,l)+1):z>nSxi
               s += binom(l,j)*p[j]B!]boc
           q[l] = sB4
       t = p+(J,
       p = qT{Ga6
       q = tmh
   return p[k]

U
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发贴时间2019/08/20 02:40am IP: 已设置保密[本文共1284字节]  
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  题: 数码$\,1\sim 9\,$能构成多少$\,17\,$位数, 使得$\,j\,$至多出现$\,j\,$次?b{y|SY
解: 令$\;g_m = \displaystyle{\small\sum_{i=0}^m} \frac{x^i}{i!},\;\;D(m,k)={\small\frac{d^{k}}{dx^{k}}}(g_1g_2\cdots g_m)(0),\,$则vH,
$g'_{m+1}=g_m,\;\;g_j^{(i)}\small(0)=\begin{cases}1,& 0\le i\le j\\ 0,& i>j \end{cases},\;\;D(m,k)=\displaystyle\sum_{\max(0,k-m-1)}^{\min(k,\frac{m(m+1)}{2})}\binom{k}{j}D(m-1,j)$v1:
$\qquad$利用这些性质可大大简化所求排列数$\,D(9,17):$
代码:
from math import *4!/7:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]|
def v(m,k):~"X
   return max(0,k-m-1)!9
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  5
def u(m,k):[bq8
   return min(k,m*(m+1)/2)|b8r>)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ,DcYG
def binom(n,r):09J_
   if 0 > n: return 'N/A'L!);
   if r < 0 or r > n: return 0u^y=Md
   p = 15)/
   if r > n-r: return binom(n,n-r))8'tOY
   for j in range(r):s1egy
       p=(p*(n-j))/(j+1){|
   return pF{fp5A
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  966&
def D(m,k):Dr^d(.
   a =[]<VJ*
   for j in range(1+m*(m+1)/2):h<?js
       a.append(1)NTy
   b = list(a)DY5T
   p,q=a,b,xU
   if k < 0 or k > m*(m+1)/2:G
       print "N/A"%
       exitaG9XR`
   idx = 1%0F3?
   while idx < m:9
       for l in range((idx+1)*(idx+2)/2):\[:
           l += 12>yp+
           s = 0|
           for j in range(v(idx,l),u(idx,l)+1):=JR}J4
               s += binom(l,j)*p[j]9`
           q[l] = s&/=I1K
       t = p12sYj[
       p = q[vr|uA
       q = t}cV"D*
       idx += 1qd
   return p[k]

vN
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发贴时间2019/08/20 03:47am IP: 已设置保密[本文共1917字节]  
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