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  Abel: 若$\,\sum c_n\,$收敛,则$\,\displaystyle\lim_{x\to 1-}{\small\sum_{n= 0}^{\infty}}c_nx^n = {\small\sum_{n= 0}^{\infty}} c_n$8
证:易见$\;\small\displaystyle\underset{n\to\infty}{{\overline\lim}}\sqrt[n]{|c_n|}\le 1\;(c_n\to 0).\;$对$\,|x|< t< 1\,$及充分大的$\,n\,$有G#`
$\qquad|c_n x^n|< t^n.\;\;f(z)=\displaystyle{\small\sum_{n=0}^{\infty}}c_nz^n\,$的收敛半径$\,\small\ge 1$.?
$\qquad$令$\,s_{-1}=0,\,s_n=c_0+\cdots+c_n,\;s=\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n,\;$则对$\,|z|<1,$e4Z5
$\qquad\displaystyle f(z)=\lim_{m\to\infty}{\small\sum_{n=0}^m}(s_n-s_{n-1})z^n=\lim_{m\to\infty}(s_mz^m{\small+(1-z)\sum_{n=0}^{m-1}}s_nz^n)$JK
$\qquad\qquad\displaystyle={\small(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}}s_nz^n\;\;$且$\;\displaystyle{\small(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}}z^n=1.\;$可见-1sg@,
$\qquad f(z)-s=(1-z){\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}(s_n-s)z^n\;\;\small(|z|<1).\qquad\quad(\dagger)$0
$\qquad$取$\,N\,$使$\,|s_n-s|<\large\frac{\varepsilon}{2}\;\small(n>N),\;$则由$(\dagger)\,$得S&i
$\qquad|f(z)-s|<|1-z|{\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\overset{\,}{N}}}|s_n-s|+\large\frac{\varepsilon}{2}\;\;\small(|z|<1).$m1
$\therefore\quad\displaystyle\lim_{z\to 1>|z|}f(z)=s.\small\quad\square$?


发贴时间2019/08/09 10:42am IP: 已设置保密[本文共1249字节]  

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