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 elim 
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  题: 求和$\;\;\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}\;\;(|z|\le 1\ne z)$`,
解: $\because\;\;\displaystyle\big|{\small\sum_{k=1}^n z^k}\big|^2\le\small\frac{4}{2-z-\bar{z}}<\infty,\quad \frac{1}{n}{\large\downarrow}\;0,$8S0D5
$\qquad$据Dilichlet定理, 原级数收敛.5+
$\qquad$令$\,f(z)=\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n},\;$则q]@6
$\qquad\small\displaystyle f(z)=\int_0^z f\,'(t)dt=-\log|1-z|-i\arg(1-z)\;(|z|<1)$T{/s
$\qquad$据Abel定理, 这个结果可以延拓到$\small\,\{z\mid |z|\le 1\}-\{1\}$:hG
$\qquad\boxed{{\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}}=-{\scriptsize\frac{1}{2}}\log(2(1-\text{Re}(z)))+i\arctan\small\frac{\text{Im}(z)}{1-\text{Re}(z)}\;\;(|z|\le 1\ne z).}$/8


发贴时间2019/08/07 05:57am IP: 已设置保密[本文共737字节]  
 elim 
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  例1.在主贴中令$\,z=e^{i}\,$得fr5@
$\qquad\displaystyle{\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n+i\sin n}{n}}={\scriptsize\frac{-1}{2}}\small\ln(2(1-\cos 1))+i\arctan\frac{\sin 1}{1-\cos 1}.\;\;\;\square$CE_GI


发贴时间2019/08/07 06:18am IP: 已设置保密[本文共230字节]  

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