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  设:设 $f(x)=x^2+12x+30$, 解方程 $f(f(f(f(f(x)))))=0.$y;=%*
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发贴时间2019/07/30 03:09am IP: 已设置保密[本文共226字节]  
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  设:设$\,f(x)=x^2+12x+30,\;\;$解方程 $f^{\langle n\rangle}(x)=0.\;$Gr
$\qquad$其中$\,f^{\langle 1\rangle}=f,\;f^{\langle k+1\rangle}=f\circ(f^{\langle k\rangle})$7MZ54
解:令$\,x_{m,k}=6^{\frac{1}{2^m}}e^{i\frac{k\pi}{2^{m-1}}}-6,\;$则$\,x_{m+1,k}=6^{\frac{1}{2^{m+1}}}e^{i\frac{k\pi}{2^m}}-6,$$<v[
$\underset{\small\;}{\qquad} f(x_{m+1,k})=(x_{m+1,k}+6)^2-6= 6^{\frac{1}{2^m}}e^{i\frac{k\pi}{2^{m-1}}}-6=x_{m,k}$MQU
$\therefore\quad f^{\langle n\rangle}(x_{n,k})=f^{\langle n-1\rangle}\underset{\scriptsize\,}{\small(f(x_{n,k}))}=f^{\langle n-1\rangle}(x_{n-1,k})=\cdots =f(x_{1,k})=0.$/X1m
$\qquad$易见$\,x_{n,k}=6^{\frac{1}{2^n}}e^{i\frac{k\pi}{2^{n-1}}}-6\;\small(k=\overline{\scriptsize 0,2^n-1})\,$两两不等,$\,f^{\langle n\rangle}(x)=0\,$是>TJaW
$\qquad\,2^n\,$次方程. 所以$\,f^{\langle n\rangle}(x)={\small\displaystyle\prod_{k=0}^{2^n-1}}(x-x_{n,k}).\quad\square$~zg{


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