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 HOFFMAN 




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发贴时间2019/03/04 10:01am IP: 已设置保密[本文共59字节]  
 elim 
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  解:令$\,r_k={\small\sqrt{1-2a_k+2a_k^2=(1-a_k)^2+a_k^2}},\;a_k=r_k\cos\theta_k,$sO$$|
$\qquad$则$\;\big({\small\dfrac{a_k}{r_k}}\big)^2=\cos^2(\arctan{\small\dfrac{1-a_k}{a_k}})=\cos^2(\arctan{\small\dfrac{108-k}{k}})$[+E
$\qquad$由$\;\cos^2(\arctan x)+\cos^2(\arctan x^{-1})=1\;$得s#v[z
$\displaystyle{\qquad\small{\displaystyle\sum_{k=1}^{108}\frac{a_k^2}{1-2a_k+2a_k^2}}=\sum_{k=1}^{53}1+\cos^2(\arctan 1)+\cos^2(\arctan 0)}$!m;W~
$\qquad = 53+\frac{1}{2}+1=\scriptsize\dfrac{109}{2}.$J
注记:虽然上面使用了三角代换, 容易看出,这不是必v
$\qquad$要的. 纯代数运算更简捷.$\,108\,$也没有特殊地位.J1


发贴时间2019/03/06 02:57pm IP: 已设置保密[本文共632字节]  
 elim 
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  $\because\;{\scriptsize\displaystyle{\frac{(k/n)^2}{1-2k/n+2(k/n)^2}+\frac{((n-k)/n)^2}{1-2(n-k)/n+2((n-k)/n)^2}}}=1$\0STL
${\small\displaystyle{ a_k=\frac{k}{n}}}\implies$+5(
$\small\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{a_k^2}{1-2a_k+2a_k^2}}=1+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\big(\frac{a_k^2}{1-2a_k+2a_k^2}+\frac{a_{n-k}^2}{1-2a_{n-k}+2a_{n-k}^2}\big)$Z!
$\qquad\qquad\qquad\quad\small =1+\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{n+1}{2}.\quad\square$5z3z=


发贴时间2019/03/06 03:28pm IP: 已设置保密[本文共448字节]  

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