>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:$(\alpha,\beta,a_n>0,\;a_n-a_{n+1}\ge\beta a_n^{2-\alpha}\;(\forall n))\implies\;\displaystyle\sum_{n\ge N}a_n=O(a_N^{\alpha})$ 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 6 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 198 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: $(\alpha,\beta,a_n>0,\;a_n-a_{n+1}\ge\beta a_n^{2-\alpha}\;(\forall n))\implies\;\displaystyle\sum_{n\ge N}a_n=O(a_N^{\alpha})$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 134218 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2002
精华: 0
资料:  
在线: 945 时 57 分 47 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2019/05/24 04:46am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  试证:$\,(\alpha,\beta,a_n{\small >0,\;}a_n{\small -}a_{n+1}{\small\,\ge\,}\beta a_n^{2-\alpha}\,(\forall n)){\small\implies\displaystyle\sum_{n\ge N}}a_n{\small=O}(a_N^{\alpha})$)7Ab
证:由$\,a_n>a_{n+1}\small >0\,$知$\,a_n\to l\in\mathbb{R}\;$进而$\,0=l-l\ge\beta\cdot l^{2-\alpha}.${
$\therefore\quad\;a_n\downarrow l=0.\,$再由$\,a_n>\beta a_n^{2-\alpha}\,$知$\,0< \alpha\le 1.\;$取$\;\small D>0\,$使g~(qB
$\qquad\small\,1-\beta(2-\alpha)x^{1-\alpha}\ge 0\;(0< x\le D),\;$则$\,f{\small(x)=}x-\beta x^{2-\alpha}$不减."
$\qquad$不妨设$\,a_1\le{\small D,}\;b_1=a_1,\,b_{n+1}=f(b_n).\;$则$\,(a_n\le b_n)\implies$3H+
$\qquad\, a_{n+1}\le a_n-\beta a_n^{2-\alpha}=f(a_n)\le f(b_n)=b_{n+1}.\;\;$故可假定|=a{
$\qquad\, a_n-a_{n+1}=\beta a_n^{2-\alpha}\,(\forall n).$*9;<
$\;\;\;$若$\,\alpha=1,$则$\,a_{n+1}=(1-\beta)a_n,\;a_{n}=a_1(1-\beta)^{n-1}\;\small(\beta\in(0,1))$#
$\qquad{\small\displaystyle\sum_{n\ge N}}a_n=\frac{1}{\beta}a_N=O(a_N^{\alpha})$PN
$\;\;\;$若$\,\alpha< 1,$由$\,\lambda a_n-\lambda a_{n+1}=\frac{\beta}{\lambda^{1-\alpha}}(\lambda a_n)^{2-\alpha}\,$知可设$\,\beta\overset{(1)}{=}1+\alpha.$x%[
$\therefore\quad n\big(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\big)=n{\small\dfrac{\beta a_n^{2-\alpha}}{a_{n+1}}}={\small\dfrac{n\beta}{a_n^{\alpha-1}-1}}$`
${\small(\dagger)\quad}{\small\dfrac{\Delta n\beta}{\Delta(a_n^{\alpha-1}-1)}}={\small\dfrac{\beta}{a_{n+1}^{\alpha-1}-a_n^{\alpha-1}}}={\small\dfrac{\beta a_n^{1-\alpha}}{(1-a_n^{1-\alpha})^{\alpha-1}-1}}\to {\scriptsize\dfrac{\beta}{1-\alpha}}> 1$Q$&<s
$\therefore\quad\displaystyle{\small\lim_{n\to\infty}n\big(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\big)}={\scriptsize\frac{\beta}{1-\alpha}}>1.\;$据Raabe判别法,$\,a_n\le\rho n^{-\sigma}$_(
$\qquad$对某$\,\rho=\rho_{\sigma}>0\,$成立$\small\,(1< \sigma=\frac{1}{1-\alpha}< \frac{\overset{\,}{\beta}}{1-\alpha}).\;$但${\small\,\dfrac{n}{a_n^{\alpha-1}}}\overset{(\dagger)}{=}O(1),$CYK7
$\therefore\quad\displaystyle{\sum_{n\ge N}}a_n=O\big({\small\int_N^{\infty}\frac{dx}{x^{\sigma}}}\big)=O(N^{1-\sigma})\overset{(2)}{=}O(a_N^{\alpha}).\quad\square$kO
注记:$(1)\quad{\small\dfrac{\beta}{\lambda^{1-\alpha}}}=1+\alpha\iff\lambda=\small\big(\dfrac{\beta}{1+\alpha}\big)^{\frac{1}{1-\alpha}};$:/wm
$\quad\qquad\;(2)\quad{\dfrac{n}{a_n^{\alpha-1}}}=O(1)\implies O(1)={\small\bigg(\dfrac{n}{a_n^{\alpha-1}}\bigg)^{1-\sigma}}=\dfrac{n^{1-\sigma}}{a_n^{\alpha}}.$5u5g\;


发贴时间2019/02/12 02:33am IP: 已设置保密[本文共2388字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: $(\alpha,\beta,a_n>0,\;a_n-a_{n+1}\ge\beta a_n^{2-\alpha}\;(\forall n))\implies\;\displaystyle\sum_{n\ge N}a_n=O(a_N^{\alpha})$
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关