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 elim 
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  题:对$\;p,\small\,A>1,\,$构造序列$\,\{a_n\}\,$使$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = A^{1/p}.$D4fKzF
解:考虑$\,g(x)=x^p-A\,$的零点的(Newton)序列逼近:J
$\quad a_{n+1}=a_n-\frac{g(a_n)}{g\,'(a_n)}=\frac{p-1}{p}a_n+\frac{1}{p}\frac{A}{\large a_n^{\,p-1}}\;\;(a_1>A^{\small 1/p})$:
$\quad$令$\,f(x)=\frac{p-1}{p}x+\frac{1}{p}{\small\dfrac{s^p}{x^{p-1}}},\;\;h(x)=f(x)-x\;\small(s>1).$)}2Yv
$\quad$据 Taylor定理,存在$\;\theta_j\in(0,1),\,\xi_j=s+\theta_j(x-s)$SUdXEc
$\quad$使$\,f(x)=f(s)+f\,'(s)(x-s)+\frac{1}{2!}f\,''(\xi_1)(x-s)^2$v+
$\qquad\qquad\; = s+\frac{p-1}{2\xi_1}\big(\frac{s}{\xi_1}\big)^p(x-s)^2\le s+\frac{p-1}{2s}(x-s)^2$_)
$\qquad f(x)-x = h(x) = -\frac{1}{p}(1+(p-1)\big(\frac{s}{\xi_2}\big)^p)(x-s)$wOVlVr
$\quad\,$取$\,s=A^{1/p},\;x=a_n,\;\beta =\frac{2s}{p-1},\,$据上列二式得'H}8m
${\small(*)}\qquad a_n> a_{n+1}>{\small A^{1/p}}> 0< \frac{a_{n+1}-A^{1/p}}{\beta}\le\big(\frac{a_n-A^{1/p}}{\beta}\big)^2$"zN He
$\quad\,$可见$\{a_n\}$收敛到$\,f\,$的唯一不动点$\,s=A^{\small 1/p}.\;$故有{
$\quad\;\,\epsilon_n=\frac{a_n-A^{1/p}}{\beta}\to 0\,$且(归纳地有)$\;\epsilon_{m+n}\le\epsilon_m^{2^{ n}}.\;\;\square$!h(Z


发贴时间2019/01/31 03:58am IP: 已设置保密[本文共1198字节]  
 elim 
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  注记:$a_1\,$的取法其实很随意.楼上的取法其实保证了&-
$\quad A^{1/p}< a_1< A:\;\;A^{1/p}< \frac{A+p-1}{p}(=a_1)< \frac{A+(p-1)A}{p}=A$Ff(]^
$\quad$当$\,p\,$是正整数时,这就是几何-算术平均不等式,否则oH\C
$\quad$是Jensen不等式的推论. 这么做方便了主贴的论证.qi}p,
$\quad\,p = 2\,$时$\,a_n=\frac{1}{2}(a_n+\frac{A}{\large a_n}).\;$这是一般人熟悉的.5
$\quad$实用上$\,p,\small\,A\,$都是正整数.但理论上没有必要这么假定.C`
$\quad$最后指出:这个算法的收敛速度奇快!ueo


发贴时间2019/01/31 04:49am IP: 已设置保密[本文共496字节]  

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