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 * 贴子主题: 数列{a(n)}满足 $a_1=3,\,a_{n+1}=\frac{1}{2}[a_n+\frac{7}{a_n}],\;n=1,2,3,…$ 问一些有关的问题 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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发贴时间2019/01/25 06:07am IP: 已设置保密[本文共54字节]  
 elim 
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  $(1)\;\because\;a_{n+1}{\small-\sqrt{7}}=\frac{1}{2}\big(a_n{\small-2\sqrt{7}\,+}\frac{7}{\large a_n}\big)=\underset{\tiny\,}{\frac{1}{\large 2a_n}}(a_n{\small-\sqrt{7}})^2$\dhd)
$\,\quad\;\;\therefore\;\,(a_1=3>\sqrt{7})\wedge(a_n>\sqrt{7}\implies a_{n+1}>\sqrt{7})$+a
$\underset{\,}{\,}\quad\;\therefore\;\boxed{a_n > \sqrt{7}\small\quad(n=1,2,3,\ldots)}$3eE
$(2)\;$仿$(1)$易见$\,\;a_{n+1}\pm\sqrt{7}=\frac{1}{2a_n}(a_n\pm \sqrt{7})^2.\;$故LHC4dO
$\qquad\;\;\;\boxed{b_{n+1}=b_n^2\small\quad(n=1,2,3,\ldots)}$'0!5S
$(3)\;$由$(1)$及$\;\; a_n-a_{n+1}=\frac{1}{2a_n}(a_n^2-7)^2\,$得$\;a_n>a_{n+1}>\sqrt{7}$IycQT>
$\quad\;\;\{a_n\}\,$收敛,其极限满足${\small\,A=}\frac{1}{2}\small(A+7/A)$即$\,\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n = \sqrt{7}}.$etut&u
$\quad\;\;$据$\,(2),\;a_n-\sqrt{7}=(a_n+\sqrt{7})b_n=(a_n+\sqrt{7})b_1^{2^{n-1}}.\;$ q
$\quad\;\;$从而$\;2^{-n}\log(a_n-\sqrt{7})=2^{-n}\log(a_n+7)+\frac{1}{2}\log b_1$46zuz3
$\;\;\therefore\quad\boxed{\lim_{n\to\infty}2^{-n}\log(a_n-\sqrt{7}) = {\small\frac{1}{2}}\log\small\frac{3-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}}$z$]


发贴时间2019/01/25 07:44am IP: 已设置保密[本文共1079字节]  
 HOFFMAN 




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  謝謝老師<Lb)


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 elim 
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  评注:(1) 原题的$\,7\,$可以换成任意正数.~2
$\qquad\quad\;$(2) 收敛奇快, 很难数值地验证推演结果.p7O5_
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推广:对$\underset{\,}{\,}m>1,\,$取$\,a_1={\small\dfrac{m+1}{2}},\;a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+{\small\dfrac{m}{a_n}})$f9c7q
试证:$(1)\;\;a_n>a_{n+1}>\sqrt{m}\;\small(n=1,2,\ldots);$#X5
$\qquad\quad\;(2)\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{m}$^V#(%
$\qquad\quad\;(3)\;\;b_n={\small\dfrac{a_n-\sqrt{m}}{a_n+\sqrt{m}}}\implies b_{n+1}=b_n^2$_m\|7
$\qquad\quad\;(4)\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}2^{-n}\ln(a_n-\sqrt{m})=-\ln(\sqrt{m}+1)$k
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追问:若$\,a_1\in (1,(m+1)/2)\,$上述论断哪些不再成立?4<xt


发贴时间2019/01/29 01:58pm IP: 已设置保密[本文共648字节]  

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