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  题:试证若平面上五点无三点共线, 则必有四点为某凸四边形的顶点.b-?^%
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发贴时间2019/01/22 03:29pm IP: 已设置保密[本文共125字节]  
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  塞凯赖什夫妇的故事/
1933年,匈牙利数学家乔治·塞凯赖什(George Szekeres)还只有22岁。那时,他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什(Paul Erdős)大神。不过当时,埃尔德什只有20岁。>[2#>
在一次数学聚会上,一位叫做爱丝特·克莱恩(Esther Klein)的美女同学提出了这么一个结论:在平面上随便画五个点(其中任意三点不共线),那么一定有四个点,它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿,没想到该怎么证明。于是,美女同学得意地宣布了她的证明:这五个点的凸包(覆盖整个点集的最小凸多边形)只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了,而对于第三种情况,把三角形内的两个点连成一条直线,则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧,这四个点便构成了一个凸四边形。d]
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平面上五个点的位置有三种情况)AX O%
众人大呼精彩。之后,埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘,于是尝试对其进行推广。最终,他们于1935年发表论文,成功地证明了一个更强的结论:对于任意一个正整数 n ≥ 3,总存在一个正整数 m,使得只要平面上的点有 m 个(并且任意三点不共线),那么一定能从中找到一个凸 n 边形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”(Happy Ending problem),因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花,两人越走越近,最终在1937年6月13日结了婚。g
对于一个给定的 n ,不妨把最少需要的点数记作f(n)。求出f(n)的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形,因此f(3) = 3。爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为f(4) = 5。利用一些稍显复杂的方法,我们可以证明f(5)等于9。2006年,利用计算机的帮助,人们终于证明了f(6) = 17。对于更大的 n,f(n)的值分别是多少? f(n)有没有一个准确的表达式呢?这是数学中悬而未解的难题之一。几十年过去了,幸福结局问题依旧活跃在数学界中。lYU
不管怎样,最后的结局真的很幸福。结婚后的近70年里,他们先后到过上海和阿德莱德,最终在悉尼定居,期间从未分开过。 2005年8月28日,乔治和爱丝特相继离开人世,相差不到一个小时。src$


发贴时间2019/01/23 00:44am IP: 已设置保密[本文共1995字节]  

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