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 elim 
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  对$\,h\ne 0,\,$定义$\,(\Delta_h f)(x)=f(x+h)-f(x),\;$归纳地定义mkj3
$(\Delta_h^{m+1}f)(x)=(\Delta_h^m f)(x+h)-(\Delta_h^m f)(x).\;$简记$\,\Delta_1 = \Delta\underset{\,}{.}$
44Kis>
定理1.$\displaystyle{\;\boxed{(\Delta_h^m f)(x)=\sum_{k=0}^m(-1)^k{\small\binom{m}{k}}f(x+(m-k)h).}}$z=>
证:易见有$\,m\ge 0\,$使上式成立.故由定义$,\;(\Delta_h^{m+1}f)(x)$3?t9
$\displaystyle{\quad=\sum_{k=0}^m(-1)^k{\scriptsize\binom{m}{k}}(f(x+(m-k+1)h)-f(x+(m-k)h)}.$9(F7PB
$\quad=f(x+(k+1)h)+$%&
$\displaystyle{\quad\quad{\small\sum_{k=1}^{m}(-1)^k}\big({\scriptsize\binom{m}{k}+\binom{m}{k-1}}\big)f(x{\small+(m-k+1)}h)}\color{darkblue}{{\small+(-1)^{m+1}}f(x)}$c`=
$\displaystyle{\quad=\sum_{k=0}^{m+1}{\small(-1)^k\binom{m+1}{k}}f(x+(m+1-k)h)}.\quad\square$F


发贴时间2019/01/18 06:09am IP: 已设置保密[本文共816字节]  
 elim 
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  定理2:$\boxed{p(n)={\small\sum_{m\ge 0}\binom{n}{m}\Delta^m p(0)}\quad\small(\forall p\in\mathbb{C}[x])}$KNF
证:令$\,\displaystyle p_k(x)=\small\overset{\,}{\binom{x+k}{k}},\;$则$\,\displaystyle\Delta^m p_k(x)={\small\binom{x+k}{k-m}}\small\quad (m,k\in\mathbb{N},\,m\le k).$(
$\because\quad\displaystyle{\small\sum_{j=0}^{n+k}\binom{n+k}{j}}x^j=(1+x)^n(1+x)^k={\small\sum_{j=0}^{n+k}}x^j{\small\sum_{m=0}^{\min(j,k)}\binom{n}{m}\binom{k}{j-m}}.$Y
$\displaystyle\therefore\quad{p_k(n)=\small\binom{n+k}{k}={\small\sum_{m\ge 0}\binom{n}{m}\Delta^m p_k(0)}},$>X6
$\qquad$因为$\{p_k(x)\}\,$是线性空间$\;\mathbb{C}[x]\,$的基,上式蕴含一般情形.$\quad\square$]O


发贴时间2019/01/18 07:30am IP: 已设置保密[本文共780字节]  

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