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 elim 
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  1 几个基本的组合恒等式$\underset{\,}{\,}$e Q
牛顿二项式公式 $(1+x)^n =C_n^0+C_n^1 x+\cdots + C_n^n x^n.\;$($\,\{C_n^r\}_{r=0}^n\,$的生成函数)3F
取$\,x=1,-1\,$依次得$\,\displaystyle{\underset{\,}{\sum_{k=0}^n} C_n^k = 2^n,\quad C_n^0-C_n^1+\cdots+(-1)^nC_n^n =0.}$cA!\?
$C_n^k=\begin{cases}0,& (n<k)\vee(k<0),\\\dfrac{n!}{k!(n-k)!},& (n\ge k\ge 0). \end{cases}$uz]5Sz
基本组合恒等式C%'I
$(1)\quad C_n^k = C_n^{n-k}$G5}*
$(2)\quad C_n^k = C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$pM
$(3)\quad C_n^k=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}$]i
$(4)\quad C_n^kC_k^m=C_n^mC_{n-m}^{k-m}=C_n^{k-m}C_{n-k+m}^m$$Jv/$
证:$(1\sim 2)$证略,$(3)$是$(4)$的特例$(m=1),\;$而$(4)$就是以下等式:h$
$\small\displaystyle\underset{\,}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}\frac{k!}{m!(k-m)!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\frac{(n-m)!}{(k-m)!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-m)!(n-k+m)!}\frac{(n-k+m)!}{m!(n-k)!}.$VpdHa
例 1. $\displaystyle\sum_{k=0}^m(-1)^k C_n^k=\sum_{k=0}^m(-1)^k (C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}) = (-1)^mC_{n-1}^{m-1}.$X
例 2. $\displaystyle{\sum_{k=0}^n C_{2n}^k={\small\frac{1}{2}}\sum_{k=0}^n(C_{2n}^k+C_{2n}^{2n-k})=2^{2n-1}+{\small\frac{1}{2}}C_{2n}^n.}$:h
例 3. $\displaystyle{\sum_{k=0}^n{\small\frac{1}{k+1}}C_n^k}\overset{(3)}{=}\sum_{k=0}^n{\small\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}={\small\frac{1}{n+1}}(2^{n+1}-1)}.\;\;$同理,5@
$\displaystyle{\qquad\quad}\sum_{k=0}^n{\small\frac{(-1)^k}{k+1}}C_n^k={\small\frac{1}{n+1}}\sum_{k=0}^n(-1)^kC_{n+1}^{k+1}=\small\frac{1}{n+1}.$Ek<


发贴时间2019/01/13 11:23am IP: 已设置保密[本文共1470字节]  
 elim 
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  $\quad\boxed{\sum_{j=m}^n C_{a+j}^{a+m}C_{b+n-j}^{b}=C_{a+b+n+1}^{a+b+m+1}=\sum_{j=m}^n C_{a+j-p}^{a+m-p}C_{(b+n+p)-j}^{b+p}\;\;{\small(p=\overline{0,a+m})}}$/8NBA
证:$\displaystyle{LHS\overset{(2)}{=}\sum_{j=m}^n C_{a+j}^{a+m}(C_{(b+n+1)-j}^{b+1}-C_{b+n-j}^{b+1})}$qB
$\displaystyle{\qquad\;\;\qquad=C_{a+m}^{a+m}C_{b+n+1-m}^{b+1}+\sum_{j=m+1}^nC_{a+j}^{a+m}C_{(b+n+1)-j}^{b+1}-\sum_{j=m}^n C_{a+j}^{a+m}C_{b+n-j}^{b+1}}$VEo,'
$\displaystyle{\qquad\;\;\qquad=C_{a+m}^{a+m}C_{b+n+1-m}^{b+1}+\sum_{j=m+1}^n(C_{a+j}^{a+m}-C_{a+j-1}^{a+m})C_{(b+n+1)-j}^{b+1}}$t
$\displaystyle{\qquad\;\;\qquad=C_{a+m-1}^{a+m-1}C_{b+n+1-m}^{b+1}+\sum_{j=m+1}^nC_{a+j-1}^{a+m-1}C_{(b+n+1)-j}^{b+1}=\sum_{j=m}^nC_{a+j-1}^{a+m-1}C_{(b+n+1)-j}^{b+1}}$3w
$\therefore\quad\displaystyle{\sum_{j=m}^n C_{a+j}^{a+m}C_{b+n-j}^{b}=\sum_{j=m}^n C_{a+j-p}^{a+m-p}C_{(b+n+p)-j}^{b+p}\;\;\small(p=\overline{0,a+m})}$&2c
$\therefore\quad\displaystyle{\sum_{j=m}^n C_{a+j}^{a+m}C_{b+n-j}^{b}=\sum_{j=m}^n C_{(a+b+m+n)-j}^{a+b+m}=C_{a+b+n+1}^{a+b+m+1}}.\quad\square$6[7_;
$\quad\boxed{\;\sum_{j=m}^n {\scriptsize\binom{a+j}{a+m}\binom{b+n-j}{b}=\binom{a+b+n+1}{a+b+m+1}=}\sum_{j=m}^n {\scriptsize\binom{a+j-p}{a+m-p}\binom{(b+n+p)-j}{b+p}\;\;(p=\overline{0,a+m})\;}}$b


发贴时间2019/01/15 11:20am IP: 已设置保密[本文共1259字节]  
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  例4. $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 C_n^k\overset{(3)}{=}n\sum_{k=1}^n kC_{n-1}^{k-1}=n\big(\sum_{k=1}^n C_{n-1}^{k-1}+\sum_{k=1}^n (k-1)C_{n-1}^{k-1}\big)$toVGx-
$\qquad\;\;\displaystyle = n\big(2^{n-1}{\small+(n-1)\sum_{k=1}^n} C_{n-2}^{k-2}\big)=n(2^{n-1}{\small+(n-1)}2^{n-2})=n(n{\small+1})2^{n-2}$W3
例5. $S_{m,n}=\displaystyle\sum_{k=m}^n(-1)^kC_n^kC_k^m=(-1)^m\delta_{m,n}\;(\small m\le n).$0
证:易见$\,S_{m,m}=(-1)^m.\;$设$\,m< n.\,$则由$\,(4)\;\;C_n^kC_k^m=C_n^mC_{n-m}^{k-m}\,$有GC
$\displaystyle{\qquad C_n^m\sum_{k=m}^n (-1)^{k-m} C_{n-m}^{k-m}=C_n^m\sum_{k=0}^{n-m} (-1)^k C_{n-m}^{k}=C_n^m(1-1)^{n-m}=0.}$'^z>
例6. $\displaystyle{\;\;\sum_{k=m}^n C_n^kC_k^m = 2^{n-m}C_n^m.\quad\square}\quad$(逻辑和上例一样.)|


发贴时间2019/01/16 09:25am IP: 已设置保密[本文共876字节]  

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