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 elim 
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  题:计数$\;E_{k,n}=\{{\small(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k}\mid\, n_1+\cdots+n_k=n\}\;\small(k,n\in\mathbb{N},\,k>0)$.#k^zn3
解:易见$\;E_{k+1,n+1}= (E_{k,n}\times\{0\})\cup (E_{k+1,n}+\{0\}^k\times\{1\})\,$是不交并,?+y~V
$\qquad |E_{k+1,n+1}|=|E_{k,n}|+|E_{k+1,n}|,\;|E_{1,n}|=|E_{k,0}|=1.$/2
$\therefore\quad{\displaystyle\sum_{(n_1,\ldots,n_k)\,\in\,\mathbb{N}^k\atop n_1+\cdots+n_k}} 1=\boxed{|E_{k,n}|=\small\binom{n+k-1}{n}}$x2E


发贴时间2019/01/10 07:24am IP: 已设置保密[本文共469字节]  
 elim 
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  注记:在$\,n-$分拆$\,n_1,n_2,\ldots,n_k\,$中用$\,n_j$个黑球取代$\,n_j,\,$用白球取代逗号.得到5(-?
$\quad\small n+k-1$个球($n$黑,$\small k-1$白)的排列. 易见这是所论分拆与排列的一一对应,CZcU
$\quad$而后者显然有$\,\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}\,$种(白球(隔离位置)的分布方式).l)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  pRk
$\quad$经整点从$(0,0)$到$(m,n)$的最短(只允许纵横移动)路径数$\binom{m+n}{m}\,$也可同理得到.$~3


发贴时间2019/01/10 08:35am IP: 已设置保密[本文共503字节]  

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