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 * 贴子主题: 求$\;f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^x\big(\big(1+{\scriptsize\frac{1}{n+1}}\big)^{n+1}-\big(1+{\scriptsize\frac{1}{n}}\big)^n\big)$ 的定义域和值域 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:求$\;f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^x\big(\big(1+{\scriptsize\frac{1}{n+1}}\big)^{n+1}-\big(1+{\scriptsize\frac{1}{n}}\big)^n\big)\,$的定义域及值域.9O*r
解:令$\,\lambda={\large\frac{1}{n}},\,$则$\;G(\lambda)=(1+\lambda)^{1/\lambda}=\exp(1-{\large\frac{\lambda}{2}}+{\large\frac{\lambda^2}{3}}+O(\lambda^3))$Gat8j
$\qquad =e\cdot{\small\big(\displaystyle-\frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda^2}{3}+\frac{1}{2!}\big(-\frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda^2}{3}\big)^2+O(\lambda^3)\big)}= -{\small\dfrac{\lambda}{2}}e+O(\lambda^2)$uY
$\therefore\quad f(x)=\displaystyle\lim_{\lambda\to 0+}\lambda^{-x}(G({\scriptsize\frac{\lambda}{1+\lambda}})-G(\lambda))=\lim_{\lambda\to 0+}{\frac{e}{2}}\lambda^{2-x}=\begin{cases} 0,& x < 2,\\ {\large\frac{e}{2}}, & x = 2,\\ \infty, & x > 2.\end{cases}$[ofT`
$\qquad f\,$的定义域及值域依次是$\,(-\infty,\,2\,],\;\{0,{\large\frac{1}{2}}e\}.$2.%k


发贴时间2019/01/09 00:06pm IP: 已设置保密[本文共926字节]  
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  注记:$(1)\;\;\displaystyle{\;(1+\lambda)^{\frac{1}{\lambda}}=\exp\big({\scriptsize\frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}\big)=\exp\big({\scriptsize\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}\lambda^n}\big)}$P;;
$\qquad\quad\,(2)\;\;\;\big({\scriptsize\dfrac{\lambda}{1+\lambda}}\big)^m-\lambda^m = \lambda^{m+1}+O(\lambda^{m+2})$:Tc3^S


发贴时间2019/01/11 09:02am IP: 已设置保密[本文共348字节]  

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