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 * 贴子主题: 试证 $\displaystyle{\small\sum_{n=0}^{\infty}\frac{p(n)}{n!}}x^n = e^x{\small\sum_{m\ge 0}\frac{\Delta^m p(0)}{m!}}x^m\;\;\small(\forall p(x)\in\mathbb{C}[x])$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题:试证 $(\dagger)\quad\displaystyle{\small\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!}}x^n = e^x{\small\sum_{m\ge 0} \frac{\Delta^m p(0)}{m!}}x^m\;\;\small(\forall p(x)\in\mathbb{C}[x]).$i4ql
证:对任意多项式$\,p,\,$有$\;\;\displaystyle{p(n)={\small\sum_{m\ge 0}\binom{n}{m}\Delta^m p(0)}}.\;\;$于是|DPZ
$\displaystyle\quad{e^x\small\sum_{m\ge 0}\frac{\Delta^m p(0)}{m!}}x^m={\small\sum_{j\ge 0}\frac{x^j}{j!}\sum_{m\ge 0}\Delta^m p(0)\frac{x^m}{m!}}={\small\sum_{n\ge 0}\sum_{j+m=n}\frac{x^n}{j!}\frac{\Delta^m p_k(0)}{m!}}$O,*JF
$\qquad ={\small\displaystyle\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}\sum_{m=0}^{\min(n,k)}\binom{n}{m}\Delta^m p(0)=\sum_{n\ge 0}\frac{p(n)}{n!}}x^n.\quad\square$G*%en


发贴时间2019/01/07 03:20pm IP: 已设置保密[本文共708字节]  

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快速回复主题: 试证 $\displaystyle{\small\sum_{n=0}^{\infty}\frac{p(n)}{n!}}x^n = e^x{\small\sum_{m\ge 0}\frac{\Delta^m p(0)}{m!}}x^m\;\;\small(\forall p(x)\in\mathbb{C}[x])$
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