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 * 贴子主题: 计算$\,\displaystyle{\sum_{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\,\in\,\mathbb{N}^5}\frac{n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\cdot n_5}{(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)!}}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:计算$\,\;\displaystyle{S_5=\sum_{n_1=0}^{\infty}\sum_{n_2=0}^{\infty}\sum_{n_3=0}^{\infty}\sum_{n_4=0}^{\infty}\sum_{n_5=0}^{\infty}\frac{n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\cdot n_5}{(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)!}}$h{V*t
注记: 易见$\;S_k = \displaystyle{\small\sum_{(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k}\frac{n_1\cdots n_k}{(n_1+\cdots+n_k)!}}=\sum_{n= k}^{\infty}\sum_{(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k\atop n_1+\cdots+n_k=n}{\small\frac{n_1\cdots n_k}{n!}}$AY2


发贴时间2018/12/31 07:26am IP: 已设置保密[本文共481字节]  
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  题:计算$\,\displaystyle{\sum_{(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k}\frac{n_1\cdot n_2\cdots  n_k}{(n_1+\cdots+n_k)!}}$8
解:$\,S_k:=\displaystyle{\sum_{(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k}\frac{n_1\cdot n_2\cdots  n_k}{(n_1+\cdots+n_k)!}=\sum_{n=k}^{\infty}\sum_{(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k\atop n_1+\cdots+n_k=n}\frac{n_1\cdots n_k}{n!}}$HUEVI
$\qquad\displaystyle{\quad =\sum_{n=k}^{\infty}{\small\frac{1}{n!}\binom{n+k-1}{2k-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\small\frac{1}{n!}\binom{n+k-1}{2k-1}}}$8;B_Vt
$\qquad$为计算$\,S_k,\;\;$由$\,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\small\frac{n^{m+1}}{n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\small\frac{(n+1)^m}{n!}},\;\;$引入以下递归关系:5{`{].
$(\dagger)\quad\displaystyle{\sigma_m:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^m}{n!}}=\begin{cases}e,& m\le 1;\\ {\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1}}\binom{m-1}{j}\sigma_j,\;& m >1.\end{cases}$O
$\qquad\small\displaystyle\binom{n+k-1}{2k-1}\,$对$\small\,k=1,2,3,4,5\,$依次是$\,n,\,\frac{1}{\large 3!}(n^3-n),\,\frac{1}{\large 5!}(n^5-5n^3+4n),$XIi0
$\qquad\frac{1}{\large 7!}(n^7-14n^5+49n^3-36n),\frac{1}{\large 9!}(n^9-30n^7+273n^5-820n^3+576n)$Xq
$\qquad$于是$\,S_2 ={\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{n^3-n}{3!}=\frac{\sigma_3-\sigma_1}{6}}e=\frac{2}{3}e$*9_
$\qquad$进而得$\,(S_1,S_2,S_3,S_4,S_5)=\large(1,\frac{2}{3},\frac{31}{120},\frac{179}{2520},\frac{787}{51840})e.\quad\square$zD4V


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  具体算法:;PieSl

代码:
                           GP/PARI CALCULATOR Version 2.11.0 (released)&
                   amd64 running mingw (x86-64/GMP-6.1.2 kernel) 64-bit versionH_
                     compiled: Jul 18 2018, gcc version 6.3.0 20170516 (GCC)s%4
                                     threading engine: singlebc
                          (readline v6.2 enabled, extended help enabled)&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4=
                              Copyright (C) 2000-2018 The PARI GroupzDWx<j
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  35?G
PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.hIYa
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (a![
Type ? for help, \q to quit.lRj;
Type ?17 for how to get moral (and possibly technical) support.ZukM+9
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  i8_;
parisize = 8000000, primelimit = 500000m8XPq;
(01:08) gp > S(k)=my(s=0);if(k==0,return(1));for(j=0,k-1,s=s+binomial(k-1,j)*S(j));return(s);)1~cb
(01:08) gp > for(k=1,8,printf("S(%d)=%d, ",k,S(k))); printf("S(9)=%d.",S(9));_
S(1)=1, S(2)=2, S(3)=5, S(4)=15, S(5)=52, S(6)=203, S(7)=877, S(8)=4140, S(9)=21147.8o
(01:09) gp > (S(3)-S(1))/3!L
%3 = 2/31e"s!
(01:09) gp > (S(5)-5*S(3)+4*S(1))/5!p
%4 = 31/120VwhV[&
(01:10) gp > (S(7)-14*S(5)+49*S(3)-36*S(1))/7!hMw
%5 = 179/2520-%,JL
(01:10) gp > (S(9)-30*S(7)+273*S(5)-820*S(3)+576*S(1))/9!G~q
%6 = 787/51840^^`g

8


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