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 elim 
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  定义1.1 称$\,\small S_X=\{f\in X^X:\;(f(X)=X)\wedge(\forall x\in X\,(|f^{-1}(x)|=1))\}\scriptsize\;(X\ne\varnothing)$?
$\qquad$在映射乘法(复合)$\;\small^\circ\,$意义下的子群$\,G(\subset_{\small\circ} S_X)\,$为$\small\,X\,$的置换子群.c.NRf,
$\quad\small S_X\,$的元(双射)又叫$\small\,X\,$的置换.记$\small\,S_{\{1,\ldots,n\}}\,$为$\small\,S_n.$?z;
$\quad$群$\,G\,$对$\small\,X(\ne\varnothing)\,$的作用是一个映射$\,\phi:G\times X\to X\;$具下二性质:3s
$\qquad\small (1)\;\forall x\in X\,(\phi(e,x)=x);\;\;(2)\;\forall u,v\in G\,\forall x\in X\;(\phi(uv,x)=\phi(u,\phi(v,x))).$?!*v
$\qquad$在不至混淆的情况,通常用$\,ux\,$表示$\,\phi(u,x).$x
$\quad\; \text{orb}_G(x)=\{gx\mid g\in G\}\,$叫作$x$在$G$作用下的轨道(orbit).MS_
$\quad \text{stab}_G(x) = \{g\in G:\,gx=x\}\,$叫作$\,G\,$关于$x$的稳定子群(stabilizer).R(
$\qquad\,\text{inv}(g)=\{x\in X:\;gx=x\}\,$叫作$\,g(\in G)\,$的不变集.2/
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评注1.2设$\,\phi\,$是群$\,G\,$对$\,X\,$的作用,$\,g\in G,\,$命$\,g^*:X\to X\,(x\mapsto\phi(g,x)),$heewM
$\quad$则$\,g^*(a)=g^*(b)\implies \phi(g^{-1},\phi(g,a))=\phi(g^{-1},\phi(g,b))\implies a=b$GVBbXf
$\quad$且$\,g^*((g^{-1})^*(x))=x\;(\forall x\in X).\;\therefore\,g^*\in S_X,\,G\cong\bar{G}=\{g^*:g\in G\} $.\1bsx
$\quad$这就是说,群作用问题本质上是置换群问题.4r
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定理1.3$\;\;|\text{orb}_G(x)||\text{stab}_G(x)| = |G|\;\;(\forall x\in X)$)`j\
证:$\bar{G}=\{g\,\text{stab}_G(x)\mid g\in G\}\,$是$\,G\,$中关系$\,a\sim b\iff a^{-1}b\in \text{stab}_G(x)$$
$\quad$对应的等价类全体$,\,\bar{\phi}:\,g\,\text{stab}_G(x)\longmapsto gx\;$是$\,\bar{G}\,$到$\,\text{orb}_G(x)\,$的双射.7,5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  p
引理1.4$\;\;x\sim_o y\iff \exists g\in G\;(y=gx)\iff \text{orb}_G(x)=\text{orb}_G(y).\;\;\square$w0>d
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定理1.5 (Cauchy-Frobenius-Burnside Lemma)_2NB
$\qquad\qquad |G||X/G|={\small\displaystyle\sum_{g\in G}}|\text{inv}(g)|\;\;({\small X/G=\{\text{orb}_G(x)\mid x\in X\}})$)k8U ^
证:${\;\;|G|\small\displaystyle\sum_{\text{orb}_k\in \bar{X}}}|\text{orb}_k|=|\{(g,x)\in G\times X:\;gx=x\}|={\small\displaystyle\sum_{g\in G}}|\text{inv}(g)|$W


发贴时间2018/12/12 06:01am IP: 已设置保密[本文共2065字节]  

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