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可见 ${\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+t^3}dt} = x\,\color{grey}{\text{Hypergeometric2F1}}\big(-{\small\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3}},-x^3\big)${/!



发贴时间2018/11/26 03:20am IP: 已设置保密[本文共215字节]  
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  楼上的函数$\underset{\,}{\,}\color{grey}{\text{Hypergeometric2F1}}(a,b,c;z)\,$简记为$_2F_1(a,b,c;z)$<%v
$\quad\small\displaystyle{_2F_1(a,b,c;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}\quad\big((u)_n=\prod_{j=0}^{n-1}(u+j)},\;-u\not\in\mathbb{N}\big)$ srcwqUkv,
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事实上由二项式定理 $\sqrt{1+t^3}=\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n (-\frac{1}{2})_n}{n!}t^{3n}\,$及$\small\;\dfrac{(\frac{1}{3})_n}{(\frac{4}{3})_n}=\dfrac{1}{3n+1}$3(
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逐项积分,解析延拓$:\;\boxed{\int_0^x\sqrt{1+t^3}dt=x\cdot\,_2F_1\big({\scriptsize -\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{3};}\small -x^3\big)\;(-1< x< \infty)}$1`V7



发贴时间2018/11/26 03:38pm IP: 已设置保密[本文共725字节]  
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  注记:用归纳法不难证明$\;{\small\dfrac{(\frac{1}{k})_n}{(\frac{k+1}{k})_n}=\dfrac{1}{kn+1}}.$eW



发贴时间2018/11/29 02:49pm IP: 已设置保密[本文共124字节]  

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