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 elim 
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  题:将$\;\ln^2(1-x)\,$展开成幂级数.src:^]
解:因为$\displaystyle{\;\ln(1-x)=\small-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}},\;$故$\displaystyle{\;\ln^2(1-x)=\small\sum_{n=2}^{\infty}\big(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}\big)x^n}$Io7
$\qquad$另一方面,$\displaystyle{\;\ln^2(1-x)=\small 2\int_0^x\frac{-\ln(1-t)}{1-t}dt=2\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}t^n\sum_{m=1}^{\infty}\frac{t^m}{m}dt}$Y."Vn
$\qquad\small\displaystyle =2\int_0^x\sum_{n=1}^{\infty}H_n t^n = 2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n}x^n.\;\big(H_m=\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\big)$07q8V



发贴时间2018/11/17 10:38am IP: 已设置保密[本文共644字节]  
 elim 
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  评注:于是有等式$\quad\small\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}=\frac{2H_{n-1}}{n}.$ 这件事比咋看起来容易理解:d_[.RQ
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$\qquad\quad\small\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\big(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\big)=\frac{2H_{n-1}}{n}.\quad\square$*EpM>



发贴时间2018/11/17 11:02am IP: 已设置保密[本文共314字节]  

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