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  题:求$\,x,y,z>0\,$使$\;\small\displaystyle\left\{\begin{matrix}x+xy+xyz=12\\y+yz+xyz=21\\z+zx+xyz=30\end{matrix}\right.$%4`
解:对每个方程除以左边的公因子, 并利用下一(轮环)方程得$\underset{\,}{\,}$=*T5&
$\qquad\small\displaystyle\left\{\begin{matrix}{\large\frac{12}{x}}=1+y+yz=22-xyz\\|*"s/
{\large\frac{21}{y}}=1+z+zx=31-xyz\\{\large\frac{30}{z}}=1+x+xy=13-xyz \end{matrix}\right.$M9"
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$\qquad$将后三式乘起来得$\;12\cdot 21\cdot 30 = t(13-t)(22-t)(31-t).\;\small(t=xyz)$UX<<&W
$\qquad 1\,$显然是其一根.进而分解方程为$\,(t-1)(t-10)(t-27)(t-28)=0.$jIoN
$\qquad$由$\,13-t=\frac{30}{\large z}>0\,$知不必考虑$\,27,\,28.$zkAw
$\qquad$于是$\underset{\,}{\;}(x,y,z)=(\frac{12}{22-t},\frac{21}{31-t},\frac{30}{13-t})\in\{(\frac{4}{7},\frac{7}{10},\frac{5}{2}),(1,1,10)\}$9j5
$\qquad$但$\;1+\frac{7}{10}+\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{2}\ne 22-1\,$而$\,(x,y,z)=(1,1,10)\,$显然满足原方程,mkb
$\qquad$故后者是原方程唯一的解.:



发贴时间2018/11/17 08:19am IP: 已设置保密[本文共943字节]  

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