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 elim 
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  试证范德蒙逆阵公式:D)N|1)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^gE
$\quad\begin{pmatrix}\omega_1^{-1}&\cdots &\omega_n^{-1}\\\vdots&\ddots &\vdots\\\omega_1^{-n}&\cdots &\omega_n^{-n}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1\\\vdots\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\omega_1^n\prod_{j\ne 1}\frac{\omega_j-1}{\omega_j-\omega_1}\\\vdots\\\omega_n^n\prod_{j\ne n}\frac{\omega_j-1}{\omega_j-\omega_n}\end{pmatrix}$@
$\quad\;\;\big((i\ne j)\implies(\omega_i\ne\omega_j)\big)$=)>o>[



发贴时间2018/11/14 08:18am IP: 已设置保密[本文共451字节]  
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  证:由克莱姆法则, 上式右边第$\,i\,$行{]t
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  OQKW(
$\qquad\lambda_i=\frac{\begin{vmatrix}\omega_1^{-1}&\cdots&\omega_{i-1}^{-1}&1&\omega_{i+1}^{-1}&\cdots&\omega_n^{-1}\\\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\\omega_1^{-n}&\cdots&\omega_{i-1}^{-n}&1&\omega_{i+1}^{-n}&\cdots&\omega_n^{-n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\omega_1^{-1}&\cdots&\omega_{n}^{-1}\\\vdots& \ddots&\vdots\\\omega_1^{-n}&\cdots&\omega_{n}^{-n}\end{vmatrix}}\quad$消去行列式列的公因子{@
$\qquad\quad=\frac{\begin{vmatrix}1&\cdots&1&1&1&\cdots&1\\\omega_1^{-1}&\cdots&\omega_{i-1}^{-1}&1&\omega_{i+1}^{-1}&\cdots&\omega_n^{-1}\\\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\\omega_1^{-(n-1)}&\cdots&\omega_{i-1}^{-(n-1)}&1&\omega_{i+1}^{-(n-1)}&\cdots&\omega_n^{-(n-1)} \end{vmatrix}}{\omega_i^{-1}\begin{vmatrix}1&\cdots&1\\\omega_1^{-1}&\cdots&\omega_{n}^{-1}\\\vdots& \ddots&\vdots\\\omega_1^{-(n-1)}&\cdots&\omega_{n}^{-(n-1)}\end{vmatrix}}\;$去连乘式公因子7u,x<
$\qquad\quad=\displaystyle\frac{\omega_i\prod_{j\ne i}(w_j^{-1}-1)}{\prod_{j\ne i}(w_j^{-1}-w_i^{-1})}=\frac{\omega_i^n\prod_{j\ne i}(\omega_j-1)}{\prod_{j\ne i}(\omega_j-\omega_i)}.\quad\square$_gS



发贴时间2018/11/16 00:46am IP: 已设置保密[本文共1147字节]  
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  注记取$\,\omega_j=j+1,\,$则hq\
$\;\omega_i^m\small\displaystyle\bigg(\prod_{1\le j< i}\frac{\omega_j-1}{\omega_j-\omega_i}\bigg)\bigg(\prod_{i< j\le m}\frac{\omega_j-1}{\omega_j-\omega_i}\bigg)=(-1)^i\binom{m}{i}(i+1)^m.\;$即lh.
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Q
$\begin{pmatrix}p
2^{-1} &\cdots  &(m+1)^{-1} \\\vdots &\ddots  &\vdots \\2^{-m} &\cdots  & (m+1)^{-m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vdots\\(-1)^i\binom{m}{i}(i+1)^m\\\vdots \end{pmatrix}$6Fx!xl



发贴时间2018/11/16 01:37am IP: 已设置保密[本文共513字节]  

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