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  考虑极限$\displaystyle{\;L=\lim_{n\to\infty}A(n)}\;(A:\mathbb{N}^+\to\mathbb{R})$j$!`ra
假定有解析函数$\;f\in\mathscr{C}{\small([0,1]),\;}\,f(x)=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_mx^m\,$使$\,A(n)=f(\frac{1}{n}).\,$tyRHGz
故$\,L=a_0 = f(0)={\small\displaystyle\lim_{x\to 0}}f(x).\,$设$\,\omega_1>\cdots>\omega_k>0,\;\;\lambda_j\in\mathbb{R},\;$则gV=urj
$\small\displaystyle f(x)-\sum_{j=1}^k\lambda_jf(\omega_j x)=(1-\sum_{j=1}^k\lambda_j)a_0+\sum_{m=1}^k(1-\sum_{j=1}^k\lambda_j\omega_j^m)a_mx^m+O(x^{k+1})$C
取$\lambda_j$为方程$\;\small\begin{pmatrix}\omega_1&\cdots&\omega_k\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \omega_1^k&\cdots&\omega_k^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda_1\\\vdots\\\lambda_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\;$的解,则有以下估计[
$\qquad\boxed{a_0=\frac{1}{1-\sum_{j=1}^k\lambda_j}\big(f(x)-\sum_{j=1}^k\lambda_jf(\omega_j x)\big)+O(x^{k+1})\;}$ 特别地XY
$\qquad\boxed{L=\frac{1}{1-\sum_{j=1}^k\bar{\lambda}_j}\big(A(n)-\sum_{j=1}^k\bar{\lambda_j} A((j+1)n)\big)+O(n^{-(k+1)})\;}$Ed{Mj+
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$\qquad$其中$\;\small\begin{pmatrix}2^{-1}&\cdots&(k+1)^{-1}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 2^{-k}&\cdots&(k+1)^{-k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bar{\lambda}_1\\\vdots\\\bar{\lambda}_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\;$p~



发贴时间2018/11/12 11:48am IP: 已设置保密[本文共1283字节]  
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  按此在新窗口浏览图片P
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发贴时间2018/11/13 07:07am IP: 已设置保密[本文共101字节]  
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  再看一个例子:0G{]
按此在新窗口浏览图片{DY*
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注意这里的黑箱加权平均比 '
E(8888888888888888)=2.71828182845904508..... 更接近于 e.T5xr



发贴时间2018/11/14 00:40am IP: 已设置保密[本文共165字节]  
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  介绍一个标准黑箱加权公式:P(+Rp
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$\displaystyle{\lim_{u\to\infty}A_u =\frac{B_m A_{(m+1)n}+B_{m-1}A_{mn}+\cdots+B_0A_n}{\sum_{k=0}^m B_k}}+O(n^{m+1})$Y
其中$\,B_k = (-1)^{m-k}\binom{m}{k}(k+1)^m\;$(ref), $\displaystyle\sum_{k=0}^m B_k = m!$ (ref)adQ7n
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