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Elinkage数学论坛 → 基础数学 [返回] → 浏览：[分享]计算$\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}$　 标记论坛所有内容为已读

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* 贴子主题： [分享]计算$\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}$                 默认小略大较大很大最大

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: 0　积分: 0 现金: 126899 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 1926 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 894 时 26 分 51 秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2018/11/17 01:57pm 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [楼 主]   题：  计算$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}}$J?P6 2018/11/06 11:25am　IP: 已设置保密 [本文共124字节]

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: 0　积分: 0 现金: 126899 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 1926 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 894 时 26 分 51 秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2018/11/17 01:57pm 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [第 2 楼]   $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{i+j}{i^{2}+j^{2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{i,j=1}^n \frac{i/n + j/n}{(i/n)^2 + (j/n)^2}=\int_0^1 \int_0^1 \frac{x+y}{x^2+y^2} \ dy \ dx$}%\@ ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛　　I $\displaystyle=\int_0^1 \left(\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+\arctan(1/x)-\ln x \right) dx=\frac{\pi}{2}+\ln 2.$nK]3X 2018/11/07 00:19am　IP: 已设置保密 [本文共346字节]

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: 0　积分: 0 现金: 126899 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 1926 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 894 时 26 分 51 秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2018/11/17 01:57pm 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [第 3 楼]   注记：$\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 \ln(1+x^{-2}) dx=\frac{1}{2}\ln 2+\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$g^ ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛　　gL+BY $\displaystyle{\qquad\quad\int_0^1\arctan(x^{-1})dx=\frac{\pi}{4}+\int_0^1\frac{xdx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln 2}$Ey0\t ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛　　wOix $\displaystyle{\qquad\quad\lim_{x\to 0}x\ln(1+x^{-2})\overset{t=\ln(1+x^{-2})}{=}\lim_{t\to\infty}\frac{t}{\sqrt{e^t-1}}=0}.\quad\square$1 2018/11/08 09:19am　IP: 已设置保密 [本文共452字节]

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: 0　积分: 0 现金: 126899 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 1926 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 894 时 26 分 51 秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2018/11/17 01:57pm 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [第 4 楼]   题：计算$\;\;\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}}$.Z"/0g" 解：记所论序列为$\underset{\,}{\,}\{c_n\},\,b_n=n,\;a_n=b_nc_n$,由Stolz定理,所求极限I $\displaystyle{\qquad L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k+n}{k^2+n^2}=2\int_0^1\frac{x+1}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2}+\ln 2.}$$ 2018/11/09 08:13am　IP: 已设置保密 [本文共434字节]

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: 0　积分: 0 现金: 126899 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 1926 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 894 时 26 分 51 秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2018/11/17 01:57pm 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [第 5 楼]   考虑相应的三维问题 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j,k=1}^n\frac{i+j+k}{i^3+j^3+k^3}.$ 据Riemann积分及Stolz定理，e6ZM 所求极限$\displaystyle{\;L=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{x+j+z}{x^3+y^3+z^3}dxdydz=3\int_0^1\int_0^1\frac{1+x+y}{1+x^3+y^3}dxdy}$z6 2018/11/12 01:20am　IP: 已设置保密 [本文共308字节]

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