>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[分享]计算$\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}$ 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 5 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 64 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: [分享]计算$\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  题:  计算$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}}$J?P6



发贴时间2018/11/06 11:25am IP: 已设置保密[本文共124字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{i+j}{i^{2}+j^{2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{i,j=1}^n \frac{i/n + j/n}{(i/n)^2 + (j/n)^2}=\int_0^1 \int_0^1 \frac{x+y}{x^2+y^2} \ dy \ dx$}%\@
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  I
$\displaystyle=\int_0^1 \left(\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+\arctan(1/x)-\ln x \right) dx=\frac{\pi}{2}+\ln 2.$nK]3X



发贴时间2018/11/07 00:19am IP: 已设置保密[本文共346字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  注记:$\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 \ln(1+x^{-2}) dx=\frac{1}{2}\ln 2+\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$g^
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  gL+BY
$\displaystyle{\qquad\quad\int_0^1\arctan(x^{-1})dx=\frac{\pi}{4}+\int_0^1\frac{xdx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln 2}$Ey0\t
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  wOix
$\displaystyle{\qquad\quad\lim_{x\to 0}x\ln(1+x^{-2})\overset{t=\ln(1+x^{-2})}{=}\lim_{t\to\infty}\frac{t}{\sqrt{e^t-1}}=0}.\quad\square$1



发贴时间2018/11/08 09:19am IP: 已设置保密[本文共452字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  题:计算$\;\;\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}}$.Z"/0g"
解:记所论序列为$\underset{\,}{\,}\{c_n\},\,b_n=n,\;a_n=b_nc_n$,由Stolz定理,所求极限I
$\displaystyle{\qquad L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k+n}{k^2+n^2}=2\int_0^1\frac{x+1}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2}+\ln 2.}$$



发贴时间2018/11/09 08:13am IP: 已设置保密[本文共434字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 5 楼]
  考虑相应的三维问题 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j,k=1}^n\frac{i+j+k}{i^3+j^3+k^3}.$ 据Riemann积分及Stolz定理,e6ZM
所求极限$\displaystyle{\;L=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{x+j+z}{x^3+y^3+z^3}dxdydz=3\int_0^1\int_0^1\frac{1+x+y}{1+x^3+y^3}dxdy}$z6



发贴时间2018/11/12 01:20am IP: 已设置保密[本文共308字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: [分享]计算$\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{i+j}{i^2+j^2}$
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关