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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[分享]简明基础集合论引论 标记论坛所有内容为已读 

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  作者:ANUSH TSERUNYAN [ pdf]yS\uI\
1. Zermelo-Franenkel 集合论 $ZF,\;\;ZFC$(C:选择公理)'3d,
$\quad ZFC\;\;(ZFC)\,$需一确定的形式语言(一阶逻辑语言)描述.: $a
$\quad$除了逻辑符号$\,=,\,\neg,\,\wedge,\,\vee,\rightarrow,\,\forall,\,\exists,\,(,)$及变量$\,x_0,x_1,\ldots$外@;^
$\quad$只有一个特殊符号$\,\in$(二元关系符). 为方便灵活起见,我们X2,
$\quad$也使用其它字母$\,x,y,z\,$甚至$A,B,\mathscr{C,F}$等作表示变元,并rQ-ZUz
$\quad$增添符号$\ne,\not\in,\leftrightarrow$等.ON7|
$\quad$我们用这些符号及变量构建有关集合的陈述.如$\,\forall x(x=x)$,1"9*\4
$\quad\,\exists x(x\ne x),\;\exists x(x\in y\wedge y\not\in z)$等等. 其中变量代表集合.HI//
$\quad$符号按通常方式解读:$=$表示相等,$\in$表示属于(集合的成员),bOB[e
$\quad\neg\,$表示"非",$\;\wedge\,$表示"合取"(且),$\;\vee\,$表示"析取"(或),$\;\to\,$表H}k'06
$\quad$示"蕴含"$,\,\forall\,$指"对一切"$,\,\exists\,$指"存在". h;{b%
$\quad$例如$\,\forall x((x\in y\wedge y\in z)\to(x\in z))\,$被解读为"对每个集合Ldp
$\quad x,\,$若$\,x\,$是$\,y\,$的成员,而$\,y\,$是$\,z\,$的成员,则$\,x\,$是$\,z\,$的成员."HvR|Xt
$\quad$在数理逻辑中称这种陈述为$ZF$中的公式. 形式地定义如下.M8n"35
定义1.1 $ZF\,$中公式的归纳定义:对变元$\,x,\,y,\,$公式$\,\varphi,\,\psi,$z/1
$\;\;$(i)$\;\;\,x=y\,$是公式.^
$\;$(ii)$\;\,x\in y\,$是公式./E
(iii)$\;\neg(\varphi)\,$是公式.Z
$\;$(iv)$\;(\varphi)\wedge(\psi),\;(\varphi)\vee(\psi)\,$及$\,(\varphi)\to(\psi)\,$是公式.bi<yJk
$\;\;$(v)$\;\;\forall x(\varphi),\;\,\exists x(\varphi)\,$是公式.~4


发贴时间2018/11/03 00:19pm IP: 已设置保密[本文共1565字节]  
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  ZFC 的公理.$\underset{\,}{\,}$~t=
Axiom 0. 集合的存在性:V4i !
$\qquad\exists x(x=x).$TyBa7M
Axiom 1. 外延公理:'
$\qquad\forall x\forall y((\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))\rightarrow x = y).$@qW
Axiom 2. 概括公理模式. 对每个公式$\varphi,\,$以下公式是公理{
$\qquad\forall z\,\exists y\,\forall x(x\in y\leftrightarrow(x\in z\wedge\varphi(x))).$+&
Axiom 3. 对集公理:{A4vCU
$\qquad\forall u\,\forall v\,\exists z(u\in z\wedge v\in z).$R2
Axiom 4. 并集公理:YNti]
$\qquad\forall\mathscr{C}\,\exists A\,\forall x\,\forall y((x\in y\wedge y\in\mathscr{C})\rightarrow x\in A).$mC.c
Axiom 5. 幂集公理:mk
$\qquad\forall x\,\exists y\,\forall z(z\subset x\rightarrow z\in y)\,\scriptsize\color{grey}{(z\subset x\,\text{是}\,\forall w(w\in z\rightarrow w\in x)\,\text{的简写}}).$/q>.o
Axiom 6. 代换公理模式:n
$\qquad\forall A[(\forall x\in A\,\exists! y\varphi(x,y))\rightarrow(\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\varphi(x,y))]$y_\:%$
Axiom 7. 无穷公理:LoW
$\qquad\forall u\,\exists x(\varnothing\in x\wedge \forall y(y\in x\rightarrow y\cup\{y\}\in x)).$H5e
Axiom 8. 正则公理:7*dLF
$\qquad\forall x[x\ne\varnothing\rightarrow\exists y\in x\,\lnot\exists z\in x(z\in y)].$B\nF:,
Axiom 9. 选择公理:6iOTW
$\qquad\forall\mathscr{C}[\varnothing\notin\mathscr{C}\rightarrow\exists f:\mathscr{C}\to\bigcup\mathscr{C}\,\forall A\in\mathscr{C}(f(A)\in A)]\underset{\,}{.}$6L9te
公理$0\sim 8\,$构成$\,ZF\,$系统,$ZFC=ZF+\,$选择公理.k'


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  [这个贴子最后由elim在 2019/02/03 00:01pm 第 1 次编辑]_b
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  7
习题一.Zv{
$1.$ 设$\,x,\,y,\,A,B\,$为集合,试证Nsj:
$\quad(a)\;\;\{x\}\,$是集合,$,
$\quad(b)\;\;(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\,$是集合.给出公式$\,\varphi(z)\,$使之真c
$\qquad$当且仅当$\,z\,$是序对.进一步给出公式$\,\varphi_0(z,x),\;\varphi_1(z,y)\,$使D2.0i
$\qquad$之成立当且仅当$z=(x,y)$Rp#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .:Q~80
解:$(a)\,$在对集公理$\,A_3\,$中取$\,u=v=\small B\,$知道存在集合$\,z\,$使/Kg
$\qquad\quad{\small B}\in z.\,$再$A_2$中取$\,\varphi(x)$为$\,x=\small B\,$知道$\,y=\small\{B\}$是集.vV`
$\quad(b)\,$据对集公理,有某集$\,z_0\,$使$\,(x\in z_0)\wedge(y\in z_0).\,$故据$A_2,$G9#~
$\qquad\{x,y\}=\{w\mid (w\in z_0)\wedge((w=x)\vee(w=y))\}$p>
$\qquad$是集合. 同理知$\{x,\{x,y\}\}$是集合.Xa


发贴时间2019/01/21 00:16pm IP: 已设置保密[本文共985字节]  
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  2. 良序集&
定义 2.0 称$\,R\subset A\times B\,$为$\,A\,$到$\,B\,$的关系,用$\,a R b\,$表示Zj{rgr
$\quad (a,b)\in R\,$此时称$\,a,\,b\,$具有(满足)关系$\,R.\;A\,$到$\,A\,$的关&,
$\quad$系叫作$\,A\,$中的关系._yUc
定义 2.1 $A\,$中的关系$\,< \,$叫作序(严格序), 如果C*3rw
${\small\text{(i)}}\;\quad\forall x\in A\,(x\not< x).\,$(反自反性) $(x\not< x)\leftrightarrow((x,x)\not\in <)$gHPR
${\small\text{(ii)}}\quad\forall x,y,z\in A\,(x<y<z\implies x<z)\,$(传递性)bu
注记 2.2 $\text{(i,ii)}\rightarrow (x< y\rightarrow y\not< x)\,$(反对称性)'{`Yf^
评注 2.3 关系$\,\le \,:= \{(x,x)\mid x\in A\}\cup (< )\,$也叫序关系,6
$\quad$具自反,传递及反对称性$\,(x\le y\leftrightarrow (x=y)\vee(x< y)).$PM
定义 2.4 $(A,< )\,$(集-关系对)叫作线性(全)序集,如果(:X^y[
${\small\text{(iii)}}\;\;\;\forall x,y\in A\,(x=y)\vee(x< y)\vee(y< x).$>($q
$\quad$全序集叫作良序集,如果非空集$B$含最小元$\,\min{B}$:A0
${\small\text{(iv)}}\;\;\;\varnothing\ne B\subset A\rightarrow \exists m\in B\,(A\ni x< m\rightarrow x\not\in B).$v/E^_p
定义 2.5 $\text{pred}(a)=\text{pred}(a,A,< )\,:=\{b\in A: b< a\}.$Co
$\quad$起始段是满足$\,\forall x\in B\,(\text{pred}(x,A,< ){\small\subset B\subset A})\,$的集$\,B.\,$gk!5kb
q$\quad$真起始段是$\ne A\,$的起始段.Jq
引理 2.6 若$(A,< )$是良序集,则对任意真起始段$\,B,\,$有34(
$\quad a\in A\,$使$\,B=\text{pred}(a)\;(a=\min(A-B)).\quad\square$`
定义 2.7 设$(A,<_A),(B,<_B)\,$为序集$,\,f:A\to B\,$是双%
$\quad$射.若$\,\forall a,a'\in A\,(a <_A a'\iff f(a)<_B f(a')),\,$则称-`~6H
$\quad$二序集同构$((A,<_A)\simeq(B,<_B)),\; f\,$为(序)同构映射.p
约定:设$(A,<),\;B\subset A,\,$用$(B,<)$表示$(B,<_{|B}).\,$其中)H%Ry
$\quad <_{|B}\, = (<) \cap (B\times B).$Ka<\<
$\quad$对良序集,用$(A,<_A)\prec(B,<_B)$表示$\;\exists b\in B:$6
$\quad((A,<_A)\simeq(\text{pred(b),<_B})).\;$又$,\;(\preceq) \iff (\prec\vee\simeq).$YzO|"
注记: $\,(A,<_A)\simeq(B,<_B)$等价于$(A,<_A)$与$(B,<_B)$的{2>
$\quad$某起始段(保序)同构.i3c
引理 2.9 良序集$(A,<_A)$至多与良序集$(B,<_B)$的一个j2!
$\quad$起始段同构.JW)Yq
证:设$B',B''$是$B$的起始段,$f:A\to B',\;g:A\to B''$是Mp&g
$\quad$保序同构.若$\,f\ne g,\,$取$\,a=\min\{x\in A:f(x)\ne g(x)\}$$A'
$\quad$不妨设$f(a)<_B g(a),\;f(a)\in B'',\;a'=g^{-1}(f(a))$DU
$\therefore\; a'<_{\small A} g^{\small -1}{\small(g(a))}=a.\,$由$\,a\,$的取法$\,f(a')=g(a')=f(a).$B
$\quad$这与$f$的保序同构性矛盾.Hq
推论 2.10 对任意良序集$(A,<),\;\lnot((A,<)\prec(A,<))$.S
注记 2.11 对良序集$(A,<_A),(B,<_B),(C,<_C),$-
${\small(a)}\;(A,<_{\small A})\prec(B,<_{\small B})\preceq(C,<_{\small C})\implies (A,<_{\small A})\prec(C,<_{\small C});$~Z
${\small(b)}\;(A,<_{\small A})\preceq(B,<_{\small B})\prec(C,<_{\small C})\implies (A,<_{\small A})\prec(C,<_{\small C});$6\g
评注 2.12 映射(函数)$f\subset A\times B$是关系,具有性质wg0
$\quad \forall a\in A\,\exists !b\in B\,((a,b)\in f).\;$映射间可有集合包含关系.i
定理 2.13 任意良序集$(A,<_A),(B,<_B),$具下列三歧性:Q
$\;\small((A,<_A)\simeq(B,<_B))\vee((A,<_A)\prec(B,<_B))\vee((B,<_B)\prec(A,<_A)).$`0
证:令$\,f=\{{\small(a,b)\in A\times B}:(\text{pred}(a),<_{\small A})\simeq(\text{pred}(b),<_{\small B})\}$$-7")(
$\quad$易见$\,f\,$是$\,A\,$的起始段$\,A'$与$\,B\,$的起始段间的保序同构.但%.ZY'
$\quad A',\,B'\,$不可能都是真起始段.$\quad\square$K


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  3. 序数k~I
定义 3.1 集$\,x\,$称为传递的,如果$\,\forall y\in x\;(y\subset x)$!!h
定义 3.2 称集$\,\alpha\,$为序数,若其为传递集,且关于$\,\in\,$良序.B
引理 3.3 设$\,\alpha\,$为一序数, 则C
$(a)\quad\forall y\in\alpha\,(y=\text{pred}(y,\alpha,\in)).$US,[Qk
$(b)\quad\varnothing=\min(\alpha).\;$命$\,0:=\varnothing.$/
$(c)\quad$每个$\,y\in\alpha\,$均为序数.6v>
$(d)\quad\alpha\not\in\alpha.$:$s


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