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 * 贴子主题: 试证$\;\displaystyle\int_{|v|\le 1}f\big({\small\frac{(a,b,c)\cdot v}{|v|}}\big)dxdydz={\small\frac{2\pi}{3}}\int_{-1}^1 f(|(a,b,c)| t)dt$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题:设$\underset{\,}{\,}\small\lambda=|(a,b,c)|,\;$试证$\;\small\displaystyle\int_{|(x,y,z)|\le 1}f\big({\scriptsize\frac{ax+by+cz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\big)dxdydz={\scriptsize\frac{2\pi}{3}}\int_{-1}^1 f(\lambda t)dt$g)_
证:取旋转变换$\underset{\,}{\,}T\,$使$\,T(a,b,c)=(0,0,\lambda),\;$记$\,B=\{\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3:\,|\mathbf{v}|\le 1\}$ej~r
$\underset{\,}{\qquad}$则$\,|T(\mathbf{v})|=|\mathbf{v}|,\;\langle(a,b,c),\mathbf{v}\rangle=\langle(0,0,\lambda),T(\mathbf{v})\rangle,\;T(B)=B.\;$于是97
$\underset{\,}{\qquad}\small\displaystyle\int_{v\in B}f\big((a,b,c)\cdot\frac{v}{|v|}\big)=\int_{v\in B}f\big((a,b,c)\cdot{\scriptsize\frac{T^{-1}(v)}{|v|}}\big)=\int_{v\in B}f\big((0,0,\lambda)\cdot\frac{v}{|v|}\big)$/Z
$\qquad=\small\displaystyle\int_{v\in B}f\big({\scriptsize\frac{\lambda z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\big)dxdydz=\int_0^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\int_0^1 f(\lambda\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\theta d\varphi$P8
$\qquad=\small\displaystyle{\scriptsize\frac{2\pi}{3}}\int_0^{\pi}f(\lambda\cos\varphi)\sin\varphi d\varphi ={\scriptsize\frac{2\pi}{3}}\int_{-1}^1 f(t{\scriptsize\sqrt{a^2+b^2+c^2}})dt.\quad\square$bV1m\)



发贴时间2018/09/05 11:57am IP: 已设置保密[本文共1171字节]  

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快速回复主题: 试证$\;\displaystyle\int_{|v|\le 1}f\big({\small\frac{(a,b,c)\cdot v}{|v|}}\big)dxdydz={\small\frac{2\pi}{3}}\int_{-1}^1 f(|(a,b,c)| t)dt$
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