>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:设区域$G$的面积为$A,\,\small\Gamma(=\partial G)$长$L$,则$\small A\le\dfrac{L^2}{4\pi}.\,$等号当且仅当$\Gamma$为圆时成立. 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 13 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 239 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 设区域$G$的面积为$A,\,\small\Gamma(=\partial G)$长$L$,则$\small A\le\dfrac{L^2}{4\pi}.\,$等号当且仅当$\Gamma$为圆时成立. 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  题:设周长为$L$的封闭曲线$\Gamma$围成区域$G,\,$其面积为$A.$0MLE
$\qquad$试证$\underset{\,}{\,}A\le\small\dfrac{L^2}{4\pi}.\,$等号当且仅当$\,\Gamma\,$为圆周时成立.RjPy!
证:因为$\underset{\,}{\,}A={\scriptsize\displaystyle\iint_G} dxdy=\frac{1}{2}{\scriptsize\displaystyle\int_{\Gamma}}-ydx+xdy\le\frac{1}{2}{\scriptsize\displaystyle\int}_{\Gamma}rds.$rOD
$\qquad$等式成立当且仅当$\small\left|\begin{matrix}dx& dy\\-y& x \end{matrix}\right|=0,\;\;d(x^2+y^2)=0\;$即{[
$\underset{\,}{\qquad}\Gamma=\Gamma_{\rho}:x^2+y^2=\rho^2\;$时成立(Cauchy-Schwarz).3py
$\underset{\,}{\qquad}$其中$\,2\pi\rho=L_{\rho}=\min\big\{L={\scriptsize\displaystyle\int}_{\partial G}ds\mid {\scriptsize\displaystyle\iint_G} dxdy=A\big\}.$@T@
$\underset{\,}{\qquad}$于是$\;A=\frac{1}{2}{\scriptsize\displaystyle\int}_{\Gamma_{\rho}}rds=\frac{\rho^2}{2}{\scriptsize\displaystyle\int}_0^{2\pi}d\theta=\pi\rho^2,\;\;\rho=\sqrt{\frac{A}{\pi}}.$:
$\therefore\quad A={\small\dfrac{L_{\rho}^2}{4\pi}}\le{\small\dfrac{L^2}{4\pi}}\,$(等号成立当且仅当$\small\,\Gamma=\Gamma_{\rho},\,\rho=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$)$\;\square$Ri@$



发贴时间2018/08/20 10:32am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共1144字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  注记:一个很自然的问题是:${\small\displaystyle\frac{L^2}{4\pi},\;\frac{1}{2}\int_{\Gamma}}rds\,$是什么关系? hB9
$\qquad$其中$\,L={\small\displaystyle\int}_{\Gamma}ds,\;r={\small\sqrt{x^2+y^2}},\;ds={\scriptsize\sqrt{\small(dx)^2+(dy)^2}}.$%
例1:取$\,r=\theta(2\pi-\theta),\;$不难验证$\;\;A< \frac{1}{2}{\small\displaystyle\int}_{\Gamma}rds< \small\dfrac{L^2}{4\pi}\quad(\dagger)\underset{\,}{.}$g
例2:对$\Gamma:|x|+|y|=1\,$有$\,A=2,\,L=4\sqrt{2},\;L^2/(4\pi)=8/\pi.$LWh
$\qquad{\small\displaystyle\frac{1}{2}\int}_{\Gamma}rds=2\sqrt{2}{\small\displaystyle\int}_0^1\sqrt{x^2+(1-x)^2}dx=\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})$Z%U
$\qquad(\dagger)\,$仍成立.LR
题:求(非圆)$\small\Gamma\,$使$\small\displaystyle\,\int_{\Gamma}-ydx+xdy,\,\int_{\Gamma}ds,\,\int_{\Gamma}rds\,$均非超越积分.pU0WYD



发贴时间2018/08/20 02:26pm IP: 已设置保密[本文共828字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  主贴问题的优化表述及论证:$\underset{\,}{\,}$&)t
定义:$\underset{\,}{\,}D=\{G\subset\mathbb{R}^2:G(=G^{\circ})\text{有界单连通},\,\partial(G)\,\text{可求长}\},$JLh
$\underset{\,}{\qquad}\;\; D_A=\{G\in D:\,m(G)=A\,\},\;E_A=\{\partial(G):\,\,G\in D_A\,\}\;\small({\scriptsize A} > 0).$S~
定理:$A\le\small\dfrac{\scriptsize L^2(\Gamma)}{\underset{\tiny\,}{4\pi}}\underset{\,}{\;}(\Gamma\in E_A).\;\; A=\small\dfrac{\scriptsize L^2(\Gamma)}{4\pi}\iff \big(\Gamma=\partial\,(N_{\scriptsize\sqrt{A/\,{\large\pi}}}(\mathbf{P})),\,\mathbf{P}\in\mathbb{R}^2\big)$`3V
证明:称$\underset{\,}{\,}G\in D_A$可优化,如果有$\,G_1\in D_A$使得$\,L(\partial(G_1))< L(\partial(G)).$X%
$\underset{\,}{\qquad}$首先证明凹集$\;G(\in D_A)\,$可优化: 此时有直线$\,\mathscr{L}\,$及$\,\Gamma=\partial(G)\,$的6 u:B
$\underset{\,}{\qquad}$某部分$\,\Lambda=\Gamma\big|_{[\alpha,\beta]}\;\small\,(\Gamma(\alpha),\,\Gamma(\beta)\in\mathscr{L})\,$使$\,G\cup\Omega\,$完全位于$\,\mathscr{L}\,$的同侧,g[uN_
$\underset{\,}{\qquad}\,\Omega\cap G=\varnothing.\;$其中$\,\Omega\,$是$\,\Lambda\,$与$\,\mathscr{L}\,$所围区域$.\;\;$作$\,\Lambda\,$关于$\mathscr{L}\,$的对称$\,\Lambda',$$H
$\underset{\,}{\qquad}\,$则$\,\small\Gamma'=(\Gamma-\Lambda)\cup\Lambda'\,$所围的区域$\,\small G\,'\,$的面积$\,m{\small(G\,')=A}+2m(\Omega),\,$而L
$\underset{\,}{\qquad}\small\,L(\partial(G\,'))=L(\partial(G)).\;\therefore\;\{\lambda P\mid P\in G\,'\}\,\scriptsize\big(\lambda^2={\tiny\dfrac{A}{A+2m(\Omega)}}\big)\,$是$\,\small\,G\,$的一个优化.D
$\underset{\,}{\qquad}(\;\Lambda':\small 2(\mathbf{n}\cdot{\large\mathbf{v}}_P)\mathbf{n}-{\large\mathbf{v}}_P,\;({\large\mathbf{v}}_P=P-\Gamma(\alpha)\,(P\in\Gamma),\;\mathbf{n}\,$是$\mathscr{L}\,$的幺方向${\small.)})$xZ%t
$\underset{\,}{\qquad}$设$\,\small G\in D_A\,$为凸集, 则$\small\,\Gamma=\partial(G)\,$可表为$\,\Gamma(\theta)=\mathbf{c}+r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)$4px
$\underset{\,}{\therefore}\quad-y\Delta x+x\Delta y\ge 0,\;A=\frac{1}{2}{\small\displaystyle\int}_{\Gamma}-ydx+xdy\le{\small\displaystyle\int}_{\Gamma}rds.\;$等式成立O,je
$\underset{\,}{\qquad}$当且仅当$\;{\small\det\begin{pmatrix}dx& dy\\-y& x\end{pmatrix}=0}\iff d(x^2+y^2)=0\iff\Gamma\,$是圆.}
$\underset{\,}{\qquad}$可见$\,{\small D_A^*}=\{{\small N_{\rho_A}(P)}\mid{\small P\in}\mathbb{R}^2\}=\{{\small G\in D_A\mid G\,\text{不可优化}}\}\,\small(\rho_A=\sqrt{A/\pi}).$&UQj
$\underset{\,}{\qquad}$所以对$\,\small G^*\in D_A^*,\,G\in D_A,\,L_A=L(\partial(G^*))=2\sqrt{\pi A},\,L=L(\partial(G)),$Ty(Y
$\qquad\;A\small\big(=\dfrac{L_A^2}{4\pi}\big)\le\dfrac{L^2}{4\pi},\;$等式成立当且仅当$\,L=L_A\iff G\,$是圆$.\quad\square$Y



发贴时间2018/08/22 08:48am IP: 已设置保密[本文共2651字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 126899 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1926
精华: 0
资料:  
在线: 894 时 26 分 51 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/11/17 01:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  注记:$\underset{\,}{\,}$IB*
$(1)\underset{\,}{\;\;}\Gamma=\partial(G)=\{\mathbf{v}\in\mathbb{R}^2\mid \forall\rho>0:({\small N_{\rho}(\mathbf{v})\cap G\ne\varnothing\ne N_{\rho}(\mathbf{v})\cap G\,^c})\}\,$叫作$\,G\,$的边界.?*Yw
$\underset{\,}{\quad\;\;}$若有单射$\,f\in\mathscr{C}([0,1),\mathbb{R}^2)$使$\,f([0,1])=\Gamma,\;\;\displaystyle{\lim_{t\to 1-}}f(t)=f(0),\;$则称$\,\Gamma\,$为简单7
$\underset{\,}{\quad\;\;}$闭曲线,区域(这里特指有界单连通开集)$\,G$由$\,\Gamma\,$围成.什么曲线能围成H?&|
$\underset{\,}{\quad\;\;}$有界单连通区域的问题较复杂. 故讨论从区域出发简捷而又不失严谨.ptJH&.
$\underset{\,}{(2)\;\;}$一旦用Green公式来表示区域面积, 接着用Cauchy-Schwarz不等式ZKtbSz
$\underset{\,}{\quad\;\;}$作分析应算是顺理成章.但如何说明黎曼和加项$\,-y\Delta x+x\Delta y\,$全程非负,7
$\underset{\,}{\quad\;\;}$或者说明只需考虑围线微分形式全程半正定的区域, 成了证明的关键.(X
$\underset{\tiny\,}{(3)\;\;}$假定$\,\Gamma\,$可极坐标参数化$\,\Gamma:\;(x,y)=r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta),\;\;$则$\,-y\Delta x+x\Delta y=$Bxao*
$\underset{\,}{\quad\;\;}(x,y)^{\perp}\cdot(\Delta x,\Delta y)>0.\;\;$因为$\,\;0< \angle(\mathbf{u}^{\perp},\mathbf{v})\le{\small\dfrac{\pi}{2}}\;(\mathbf{u}=(x,y),\,\mathbf{v}=(\Delta x,\Delta y))$J7T9
$\underset{\,}{\quad\;\;}$在可微的情形更有$\,-ydx+xdy=r^2d\theta\ge 0.$w/k
$\underset{\tiny\,}{(4)\;\;}(3)\,$等价于$\,G\,$为边界可连续参数化的星形区域.易证作为星形区域特例@xKxub
$\underset{\,}{\quad\;\;}$的凸区域优于非凸区域. 至此整个证明的思路就完全清楚了.E



发贴时间2018/08/24 08:10am IP: 已设置保密[本文共1513字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 设区域$G$的面积为$A,\,\small\Gamma(=\partial G)$长$L$,则$\small A\le\dfrac{L^2}{4\pi}.\,$等号当且仅当$\Gamma$为圆时成立.
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关