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 elim 
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  题:设区域$\,G\,$单连通$,\,\Gamma = \partial G\,$光滑,法线正向$\underset{\,}{\,}\mathbf{n}=(n_1,n_2).$s0
$\qquad u,\,v\in\mathscr{C}^2(\bar{G}).\,$试证$\;\small\displaystyle\iint_G{\scriptsize\left|\begin{matrix}\Delta u& \Delta v\\ u & v \end{matrix}\right|}dxdy=\int_{\Gamma}{\scriptsize\left|\begin{matrix}\scriptsize\dfrac{\partial u}{\partial\mathbf{n}}& \scriptsize\dfrac{\partial v}{\partial\mathbf{n}}\\ u & v\end{matrix}\right|}ds.$Dn
证:$\underset{\,}{\because}\;(dx,dy)=(-n_2,n_1)ds,\quad\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}}=\mathbf{n}\cdot\triangledown= n_1\frac{\partial}{\partial x}+n_2\frac{\partial}{\partial y},$,>luE
$\qquad\text{RHS}=\small\displaystyle\int_{\underset{\,}{\Gamma}}\big(v\big(n_1\frac{\partial u}{\partial x}+n_2\frac{\partial u}{\partial y}\big)-u\big(n_1\frac{\partial v}{\partial x}+n_2\frac{\partial v}{\partial y}\big)\big)ds$!48u)
$\qquad\qquad=\small\displaystyle\int_{\underset{\,}{\Gamma}}\big(-n_2\big(u\frac{\partial v}{\partial y}-v\frac{\partial u}{\partial y}\big)+n_1\big(v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}\big)\big)ds$n#
$\qquad\qquad=\small\displaystyle\int_{\underset{\,}{\Gamma}}\big(\big(u\frac{\partial v}{\partial y}-v\frac{\partial u}{\partial y}\big)dx+(v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}\big)dy\big)$--v*}?
$\qquad\qquad=\small\displaystyle\iint_{\underset{\,}{G}}\big(\frac{\partial}{\partial x}\big(v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(u\frac{\partial v}{\partial y}-v\frac{\partial u}{\partial y}\big)\big)dxdy$jcc`P
$\qquad\qquad={\small\displaystyle\iint_{\underset{\,}{G}}}(v\Delta u -u\Delta v)dxdy=\text{LHS}.\quad\square$cX



发贴时间2018/08/16 06:14am IP: 已设置保密[本文共1746字节]  
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  题:设$\,\Gamma=\partial G\,$为光滑闭曲线,在区域$\,G\,$上$\,\Delta u=0.$,VZBnd
$\qquad$则$\,u{\small(a,b)}=\frac{1}{2\pi}{\small\displaystyle\int}_{\Gamma}\big(u\frac{\partial\ln r}{\partial n}-\frac{\partial u}{\partial n}\ln r)ds\;\small((a,b)\in G)$3&ZKE
$\qquad$其中$\small\,r=|(x-a,y-b)|,\;(x,y)\in\Gamma,\;\scriptsize\dfrac{\partial}{\partial n}\,$是方向导数.4kwf`+
证:取$\,\rho(\,>0)$使$\,\bar{N}_{\rho}(a,b)\subset G^{\circ},\;\Gamma_{\rho}=\partial N_{\rho}(a,b).$lI
$\qquad$在$\,G-\bar{N}_{\rho}(a,b)\,$上$\,\Delta\ln r=\Delta u=0\,\big(\frac{\partial^2(\ln r)}{\partial x^2}=$s]H9E
$\qquad\frac{(y-b)^2-(x-a)^2}{r^4}\big).\qquad\qquad$现作下列分析:EC
按此在新窗口浏览图片u
$\qquad$如图,从$\,G\,$的内部挖去$\bar{N}_{\rho}(a,b),\,$所剩部分被分A{
$\qquad$为二单连通区域$\small\,G_1,\,G_2.\,$对它们应用Green第二DG91
$\qquad$型公式立即得$\,\small\displaystyle\int_{\Gamma+\Gamma_{\rho}^{-}}=0:$L5D
$\qquad\small\displaystyle\int_{\Gamma}\big(u\frac{\partial\ln r}{\partial n}-\frac{\partial u}{\partial n}\ln r\big)ds=\int_{\Gamma_{\rho}}\big(u\frac{\partial\ln r}{\partial n}-\frac{\partial u}{\partial n}\ln r\big)ds$1"GE
$\qquad$在$\,\Gamma_{\rho}\,$上$\displaystyle\,{\small\frac{\partial u}{\partial n}}ds=(\mathbf{n}\cdot\nabla u) ds = {\small\frac{\partial u}{\partial x}}dy-{\small\frac{\partial u}{\partial y}}dx$*Q#x
$\qquad{\small\displaystyle\int}_{\Gamma_{\rho}}\big({\small\dfrac{\partial u}{\partial n}}\ln r\big)ds=\ln\rho{\small\displaystyle\iint}_{|(x,y)|\le\rho}(\Delta u)dxdy=0$uar
$\qquad$最后$,\,\frac{1}{\large 2\pi}{\small\displaystyle\int}_{\Gamma_{\rho}}\big(u{\small\dfrac{\partial\ln r}{\partial n}}\big)ds=$2/
$\qquad\frac{1}{\large 2\pi}{\small\displaystyle\int}_0^{2\pi}u(a+\rho\cos\theta,b+\rho\sin\theta)d\theta\overset{\rho\to 0+}{\to }u(a,b)${2
$\quad\;\;\boxed{u{\small(a,b)}={\small\frac{1}{2\pi}}\int_{\Gamma}\big(u{\small\frac{\partial\ln r}{\partial n}}-{\small\frac{\partial u}{\partial n}}\ln r\big)ds\;\small((a,b)\in G)}$j%3,%:



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