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  题:$\,(\cos n^{\circ},\sin n^{\circ}),\;n\in\mathbb{Z}$ 尺规作图讨论.1NYv
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按此在新窗口浏览图片lW[
注1.1:由上述构造知道,对$\,n\in 3\mathbb{Z},\,(\cos n^{\circ},\sin n^{\circ})\,$可尺规作出.dKm
据抽象代数或正多边形尺规作图能行性(Gauss–Wantzel)定理,X
$(\cos 1^{\circ},\sin 1^{\circ})\,$不能由有限步尺规作出.6|E



发贴时间2018/08/08 10:53am IP: 已设置保密[本文共354字节]  
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  2.1命题:对$\underset{\,}{\,}n\in\mathbb{N}^+,\;\frac{k\pi}{2^{n+1}}\;(0\le k\le 2^n)$ 可尺规作出.;ug=D(
证明:角$\underset{\,}{\,}\frac{\pi}{2^{1+1}}\,$可尺规作出。设角$\,\frac{k\pi}{2^{n+1}}\,(0\le k\le 2^n)\,$可尺规作出, 则m
$\underset{\,}{\quad}\frac{k\pi}{2^{n+2}},\;\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2^{n+2}}=\frac{2^{n+1}\pi-k}{2^{n+2}}\;\small(0\le k\le 2^n)\,$亦然. 即角$\,\frac{k\pi}{2^{n+2}}\,\small(0\le k\le 2^{n+1})$n4~e
$\underset{\,}{\quad}$可尺规作出.$\quad\square$2G
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2.2推论:单位圆$\,S\,$上可尺规确定的点的集合$\,S_c\,$在$\,S\,$中稠密$\,(\bar{S}_c=S).$n7C'H



发贴时间2018/08/08 03:22pm IP: 已设置保密[本文共606字节]  
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  3.1定义:称$\underset{\,}{\,}\small T_{\Lambda}(\zeta)=\sqrt{2+\lambda_m\sqrt{2+\cdots\lambda_2\sqrt{2+\lambda_1\zeta}}}\;\;\scriptsize(\Lambda=(\lambda_m,\ldots,\lambda_1),\lambda_j\in\{-1,1\})$R
$\underset{\,}{\qquad}$为$\Lambda$根号套.$\,n\,$重$\,\Lambda\,$根号套由$\small\;T_{\Lambda}^n(\zeta)=T_{\Lambda}(T_{\Lambda}^{n-1}(\zeta))\,$确定.记$\,\small T_{\Lambda}^n=T_{\Lambda}^n(2).$W&i[
3.2定理:$\{\underset{\,}{\small\dfrac{k\pi}{2^n}}\mid 0< n\in\mathbb{N}\ni k\le 2^{n-1}\}=\{\arccos(\frac{T_{\Lambda}}{2})\mid \small\Lambda\in{\scriptsize\{-1,1\}^n,\,n\in\mathbb{N}^+}\}.$ian
3.3引理:设$\,\theta,\lambda_k\in\mathbb{R},\;\theta_0=\theta,\;\theta_m=\frac{\pi}{4}+\frac{\lambda_m}{2}(\theta_{m-1}-\frac{\pi}{2})\,(1\le m),\;$则7G6~n
$\underset{\,}{\qquad}\theta_m=\frac{\pi}{4}(1-\sum_{k=2}^m\prod_{j=k}^m\frac{\lambda_j}{2})+(\theta-\frac{\pi}{2})\prod_1^m\frac{\lambda_j}{2}\;\;$(归纳法):
$\underset{\,}{\qquad\quad}\,=\frac{1}{\large 2^m}(\frac{\pi}{2}(2^{m-1}-\prod_{i=1}^m \lambda_i-\sum_{i=2}^m 2^{i-2}\prod_{j=i}^m \lambda_j)+\theta\prod_{i=1}^m \lambda_i)$y}-Q
$\underset{\,}{\qquad}$,T
3.4定理:设$\underset{\,}{\,}\lambda_j\in\small\{-1,1\}.\,$由$\,\sqrt{2+2\lambda\cos\theta}=2\cos\frac{(1-\lambda)\pi+2\lambda\theta}{4}\,$及引理3.3,_oh>#
$\underset{\,}{\qquad}\small\displaystyle T_{\Lambda}(\zeta)=T_{\Lambda}(2\cos\theta)=2\cos\frac{k\pi+\lambda\theta}{2^m}=2\cos\psi\,\;(\zeta = 2\cos\theta,\;\psi=\scriptsize\frac{k\pi+\lambda\theta}{2^m})$'
$\qquad\small\lambda=\lambda_1\cdots\lambda_m,\,\;k=\frac{1}{2}(2^{m-1}-2^{m-2}\lambda_m-2^{m-3}\lambda_{m-1}\lambda_m-\cdots-2^0(\lambda_2\cdots\lambda_m)-\lambda).$U~[*
$\underset{\,}{\qquad}$易见$\;\small\,T_{\Lambda}^n(\zeta)=2\cos\psi_n,\;\,\small\displaystyle\psi_n=\frac{k\pi}{2^m}+\frac{\lambda}{2^m}\psi_{n-1}=\cdots=\frac{k\pi}{2^m}\sum_{j=0}^{n-1}\big(\frac{\lambda}{2^m}\big)^j+\theta\big(\frac{\lambda}{2^m}\big)_{^\bf{.}}^n$uh3
$\underset{\,}{\qquad}$由$\cos\,$的连续性,对无穷循环$\Lambda$根号套有?jZ
$\qquad\qquad\qquad\boxed{\,T_{\Lambda}^{\infty}=2\cos(\small\frac{k\pi}{2^m}\sum_{n=0}^{\infty}\big(\frac{\lambda}{2^m}\big)^n)=2\cos\frac{k\pi}{2^m-\lambda}}.$u:d~



发贴时间2018/08/09 05:15am IP: 已设置保密[本文共2195字节]  

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