>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:实方程$\;x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\,$的解. 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 15 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 142 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 实方程$\;x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\,$的解. 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125078 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1890
精华: 0
资料:  
在线: 879 时 05 分 50 秒
注册: 2010/12/07 01:27pm
造访: 2018/10/22 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  题:确定实数$\underset{\,}{\,}a\,$的取值范围使实方程$\,x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\quad(\dagger)\;$有解.&"(C
解:易见$\underset{\,_{\,}}{\;\,}4a-3,\;{\small\dfrac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}} \ge 0\iff (a\ge 1),\;$:R?I_Y
$\underset{\,}{\qquad}$此时$\;a\pm{\small\dfrac{\sqrt{4a-3}\mp 1}{2}}=\big(\small\dfrac{\sqrt{4a-3}\pm 1}{2}\big)_.^2\,\quad x=\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}\,$满足$\small(\dagger)$.Lk7Y
$\underset{\,}{\qquad}$且$(\dagger)\,$的左边单调增,右边单调减, 故方程至多有一个解.aQ*O0
$\therefore\quad\boxed{\,实方程\,x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\;(a\ge 1)\;有唯一解\;x=\small\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}}$to



发贴时间2018/08/05 07:49am IP: 已设置保密[本文共617字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125078 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1890
精华: 0
资料:  
在线: 879 时 05 分 50 秒
注册: 2010/12/07 01:27pm
造访: 2018/10/22 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  题:确定实数$\underset{\,}{\,}a\,$的取值范围使实方程$\,x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\quad(\dagger)\;$有解.FH[
旧解:原方程对应一个四次方程$\underset{\,}{\,}$8su+B&
$\underset{\,}{\qquad}0=(x^2-a)^2-x-a\equiv ((x^2-a)+x+1)((x^2-a)-x)$:7RF
$\underset{\,}{\therefore\quad}x={\small\dfrac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2},\;\dfrac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}}.\quad$(负根显然是增根)/
$\underset{\,}{\because\quad}\big(a-\sqrt{a+\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\big)-\big(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\big)^2=-\sqrt{a+\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}-\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}< 0$FO
$\underset{\,}{\therefore\quad} x={\small\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\;$不是$(\dagger)$的根.K08y
$\underset{\,}{\qquad}$最后$,\;\,{\small\dfrac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}},\;\sqrt{a-\sqrt{a+\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}}}\ge 0\iff a\ge 1$ 并且=Ki3/
$\underset{\,}{\qquad}\big(a-\sqrt{a+\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}}\big)-\big(\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}\big)^2={\small\dfrac{1+\sqrt{4a-3}}{2}-\sqrt{a+\large\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}}}$SeGcx
$\underset{\,}{\qquad}={\small\dfrac{1+\sqrt{4a-3}}{2}}-\sqrt{\small\dfrac{(4a-3)+2\sqrt{4a-3}+1}{4}}=0$zEO~8,
$\therefore\quad\boxed{\,实方程\,x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\;(a\ge 1)\;有唯一解\;x=\small\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}}$`h



发贴时间2018/08/06 02:24am IP: 已设置保密[本文共1196字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125078 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1890
精华: 0
资料:  
在线: 879 时 05 分 50 秒
注册: 2010/12/07 01:27pm
造访: 2018/10/22 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  推论:由$\underset{\,}{\;}a+{\small\dfrac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}} = \big({\small\dfrac{1+\sqrt{4a-3}}{2}}\big)^2\;$知Z*.i6
$\underset{\,}{\qquad}\boxed{\;x=\sqrt{a\pm\sqrt{a\mp x}}\iff x={\small\frac{\sqrt{4a-3}\mp 1}{2}}\;\;(a\ge 1)\,}$3r5d7
$\qquad\boxed{\sqrt{a\pm\sqrt{a\mp\sqrt{a\pm\sqrt{a\mp\cdots}}}}={\small\frac{\sqrt{4a-3}\pm 1}{2}}\;(a\ge 1)}$H*U@!$



发贴时间2018/08/06 04:56am IP: 已设置保密[本文共377字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125078 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1890
精华: 0
资料:  
在线: 879 时 05 分 50 秒
注册: 2010/12/07 01:27pm
造访: 2018/10/22 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  例:x
$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}}=\small\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$Oe
$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots}}}}=\small\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$MJ&
$\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3+\cdots}}}}=1$e
$\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{3-\cdots}}}}=2$)%,{#



发贴时间2018/08/06 11:04am IP: 已设置保密[本文共319字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 实方程$\;x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\,$的解.
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关