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 * 贴子主题: [原创]设$\,a_K > 0\,(\forall k),$则$\;M(x)=\big(\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n}\big)^{1/x}\,$ 是调和,几何,算术平均的连续过渡. 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题:设$\,a_K > 0\,(\forall k),$则$\;M(x)=\big(\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n}\big)^{1/x}\,$是$\{a_k\}_{k=1}^n\,$的@
$\qquad$调和,几何,算术平均的连续过渡$.\;M(0)=\displaystyle{\lim_{x\to 0}}M(x)$:U5
证:记$\,\;g(x)=a_1^x+\cdots+a_n^x,\,$则$\displaystyle{\,\lim_{x\to 0}\ln M(x)}=\lim_{x\to 0}\small\frac{\ln g(x)-\ln g(0)}{x}$0%|_G^
$\underset{\,}{\therefore}\quad\displaystyle{M(0)=\lim_{x\to 0}\ln M(x)={\small\frac{d}{dx}}\ln g(x)\big|_{x=0}}=\ln \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}.$.KJH4OZ
$\qquad(M(-1),\,M(0),\,M(1))=\big(\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}},\sqrt[n]{a_1\cdots a_n},\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\big)$Te?-Db
$\qquad$依次是$a_1,\ldots,a_n$的调和,几何,算术平均. $M\,$显然连续$.\;\;\square$nrY"k6



发贴时间2018/06/21 02:11pm IP: 已设置保密[本文共730字节]  

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