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 elim 
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  按此在新窗口浏览图片引理:令$\underset{\,}{\,}\varphi(u,v)={\large\frac{u-v}{1-uv}}\;{\small(|u|,|v|< 1)},$~@EWR
$\quad\Phi(u,v)=(\varphi(u,v),\varphi(u,-v))\underset{\,}{.}$u eAc^
$\quad\small S_{\lambda}=[0,\lambda]^2,\underset{\,}{\;}T_{\lambda}=\{(u,v)\mid |v|\le u\le\lambda\}$Qm
$\small 0< b=\frac{a}{1+\sqrt{1-a^2}}< a< 1.$JU
$\qquad$则$\underset{\,}{\;}\boxed{\Phi(T_a)\subset S_a\subset\Phi(T_a)\;}$o
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证明:${\quad}$先列出$\,\varphi\,$的一些有趣性质:|wMq
$(1)\;\;\varphi_v(u,v)=\frac{u^2-1}{(1-uv)^2}< 0,$m!
$\qquad\frac{d}{du}\big(\frac{2u}{1+u^2}\big)=2\frac{1-u^2}{(1+u^2)^2}>0,$Z*y;e@
$(2)\;\;u=\varphi(u,v)+\frac{v(1-u^2)}{1-uv},$V
$\underset{\,}{(3)}\;\;\varphi(u,\varphi(u,v))={\large\frac{u-\frac{u-v}{1-uv}}{1-u\frac{u-v}{1-uv}}}=v.$~k
$(4)\;\;\varphi(u,v)\ge 0,\;\;\,\small((u,v)\in T_a,\;a\in(0,1))$d(;{{
$\quad\;\;\,$对$|v|\le u\le b=\large\frac{a}{1+\sqrt{1-a^2}}\,$有~n"%F
$0\overset{(4)}{\le}\varphi(u,\pm v)\overset{(1)}{\le}\varphi(u,-u)=\frac{2u}{1+u^2}\overset{(1)}{\le}a$lZ%T
$\therefore\;\Phi(T_b)\subset S_a.$_^,!*
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设$\underset{\,}{\,}0\le x\le y\le a< 1.\,$o?jA
令$\,V(t)=(u,v)(t)=(t,\varphi(t,x)),\;\;h(t,x)=\varphi(t,-\varphi(t,x))\;\small\,(t\in[x,a])$.Ul
$\because\,\;t\overset{(2)}{\ge}\varphi(t,x)\ge 0,\;\therefore\;\,V(t)\in T_a.\;$据(3)$,\;\Phi(V(t))=(x,h(t,x)).\;$且lE
$h(x,x)=x\le y\le y+\frac{\varphi(y,x)(1-y^2)}{1+y\varphi(y,x)}\overset{(2)}{=}h(y,x),$|`&
$\exists\,\xi\in [x,y]\,:\;\;h(\xi,x)=y,\;\;\Phi(V(\xi))=(x,y).\underset{\,}{\;}$bT9$B[
令$\,\bar{V}(t)=(t,-\varphi(t,x)),\;$则又有$\,\Phi(\bar{V}(\xi))=(y,x).\qquad\therefore\;S_a\subset\Phi(T_a).\quad\square$P



发贴时间2018/06/17 05:01pm IP: 已设置保密[本文共1677字节]  

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