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 elim 
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  名题$\underset{\,}{\quad}\zeta(2)=\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$q?UuJs
Euler 1734:$\;\;\sqrt{x}\sin\small\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}=1-\frac{1/3!}{x}+\frac{1/5!}{x^2}-\frac{1/7!}{x^3}+\cdots$ 的根为$\{\frac{1}{\pi^2n^2}\}$2~hn@
$\qquad\qquad\qquad$套用多项式根与系数的关系便有$\;\small\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{3!}.$gEqu=\



发贴时间2018/06/13 04:40am IP: 已设置保密[本文共438字节]  
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  引理:令$\underset{\,}{\,}\varphi(u,v)={\large\frac{u-v}{1-uv}}\;{\small(|u|,|v|< 1)},\;\Phi(u,v)=(\varphi(u,v),\varphi(u,-v)).$o
$\qquad S_a=[0,a]^2,\;T_a=\{(u,v)\mid |v|\le u\le a\}\,\small(0<a<1,\;b=\frac{a}{1+\sqrt{1-a^2}}).$MJiBe$
$\qquad$则$\underset{\,}{\;}\boxed{\Phi(T_a)\subset S_a\subset\Phi(T_a)}\quad$引理的证明...点击这里+`&S<
据上引理$,\;{\small\displaystyle\iint}_{\Phi(T_b)}\frac{1}{1-(xy)^2}\le {\small\displaystyle\iint}_{S_a}\frac{1}{1-(xy)^2}\le {\small\displaystyle\iint}_{\Phi(T_a)}\frac{1}{1-(xy)^2}\quad(\dagger)$$Ynh
$(0)\underset{\,}{\quad}{\small\displaystyle\iint}_{S_a}\frac{1}{1-(xy)^2}={\small\displaystyle\iint_{S_a}\sum_{n=0}^{\infty}}(xy)^{2n}={\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{a^{4n+2}}{(2n+1)^2}$*ae4P
$\qquad|J_{\Phi}|=\left|\frac{\partial\Phi(u,v)}{\partial(u,v)}\right|=2\frac{(1-u^2)(1-v^2)}{(1-(uv)^2)^2},\;\frac{1}{1-(xy)^2}=\frac{(1-(uv)^2)^2}{(1-u^4)(1-v^4)}$>5a9a9
$(\ddagger)\underset{\,}{\quad}{\small\displaystyle\iint}_{\Phi(T_a)}\frac{1}{1-(xy)^2}={\small\displaystyle\int_0^a du\int}_{-u}^u\frac{2dv}{(1+u^2)(1+v^2)}=2(\arctan a)^2$sSU>K
综合$\,(\dagger),(0),\,(\ddagger)\,$得;~R1
$\qquad 2(\arctan \frac{a}{1+\sqrt{1-a^2}})^2\le {\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{\large a^{4n+2}}{(2n+1)^2}\le 2(\arctan a)^2$LP
$\therefore\;\;{\large\frac{\pi^2}{8}}={\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{1}{(2n+1)^2}={\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n^2}-{\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{(2n)^2},\;\;{\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n^2}={\large\frac{4}{3}\frac{\pi^2}{8}}=\large\frac{\pi^2}{6}.\small\;\;\square$3+X`fg



发贴时间2018/06/14 01:16am IP: 已设置保密[本文共1728字节]  

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