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 elim 
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  题:试证$\;\;(1+\frac{1}{n})^{\sqrt[3]{n(n+\frac{1}{2})(n+1)}} = e+O(n^{-4})\;\small\color{grey}{(\approx e)}$B:t;{
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发贴时间2018/06/05 06:50am IP: 已设置保密[本文共178字节]  
 elim 
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  对$\,a{\small\color{gray}{(\ne)}}b>0,\,$令$\;x=\frac{a-b}{b},\;$由主贴$,\small\;\sqrt[3]{{\small\frac{1}{2}}(x+1)(x+2)}={\large\frac{x}{\ln(1+x)}}+O(x^4)$F2
$\big(\underset{\,}{\frac{a}{b}}\big)^{\frac{1}{a-b}\sqrt[3]{\frac{1}{2}ab(a+b)}}=\exp\big(\frac{b}{a-b}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\big(1+\frac{a-b}{b}\big)\big(2+\frac{a-b}{b}\big)}\ln(1+\frac{a-b}{b})\big)$B$#'t
$\underset{\,}{=\exp}\big(\frac{1}{x}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(1+x)(2+x)}\ln(1+x)\big)$.
$\underset{\,}{=\exp}\big(\big(\frac{1}{\ln(1+x)}+O(x^3)\big)\ln(1+x)\big)$a4WXq
$\underset{\,}{=\exp}(1+O(x^4))=e+O(x^4)$)B/I_
$\underset{\,}{\therefore}\;\boxed{\big(\frac{a}{b}\big)^{\frac{1}{a-b}\sqrt[3]{\frac{1}{2}ab(a+b)}}=e+O({\scriptsize\frac{a-b}{b}})^4}$!
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$\big(\frac{10.1}{10}\big)^{\frac{1}{0.1}\sqrt[3]{10\times 10.1\times 10.05}}=2.7182818284\ldots$w_<WG
$\big(\frac{10.01}{10}\big)^{\frac{1}{0.01}\sqrt[3]{10\times 10.01\times 10.005}}=2.71828182845904$rmWW
$e =\small 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277\ldots$oS}dQ0



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